第二讲85.2留数(Residue)留数的概念及留数定理一二、留数的求法三、函数在无穷远点的的留数
第二讲 §5.2 留数 (Residue) 一、留数的概念及留数定理 二、留数的求法 三、函数在无穷远点的的留数
留数的概念及留数定理如果函数f(z)在zo的邻域内解析,C是此邻域内一条简单闭曲线，那末根据柯西积分定理有于f(2)dz=0.如果z为f()的一个孤立奇点,则沿在z的某个去心邻域0<z-zo<R内包含z的任意一条正向简单闭曲线C的积分分f(z)dz一般就不等于零.因此 f (2) = ... +c_n(z-zo)-n+...+c_1(z-zo)-1+co+ci(z-zo)+...+cn(z-zo)n+... 0<z-zo<R两端沿C逐项积分：f(z)dz=2元ic_1C
如果函数f (z)在z0的邻域内解析,C是此邻域内一 条简单闭曲线，那末根据柯西积分定理有 ( )d = 0. C f z z 因此 f (z) = . +c-n (z-z0 ) -n+.+c-1 (z-z0 ) -1 +c0+c1 (z-z0 )+.+cn (z-z0 ) n+. 0<|z-z0 |<R ( )d 2π . = -1 f z z ic C 两端沿C逐项积分: 一、留数的概念及留数定理 如果z0为 f (z)的一个孤立奇点, 则沿在z0的某个 去心邻域 0<|z-z0 |<R 内包含z0的任意一条正向简单 闭曲线C的积分 一般就不等于零. C f (z)d z
即C,是积分过程中唯一残留下来的Laurent系数定义5. 4设 z为f()的孤立奇点，f(z)在 zo邻域内的洛朗级数中负幂次项(z-zo)-1的系数c_,称为f(z)在 zo的留数，记作 Res f(z),z]即(1)Res [f(z), zo]= c-1有ResLf(z),zo]=c_1f(z)dz(2)2元
定义5.4设 z0 为 f (z) 的孤立奇点，f (z) 在 z0 邻 域内的洛朗级数中负幂次项 (z- z0 ) –1 的系数c–1 称 为f (z)在 z0 的留数，记作 Res [f (z), z0] 即 Res [f (z), z0 ]= c–1 （1） Re [ ( ), ] ( ) (2) 2 1 0 1 f z dz i s f z z c c = - = 有 C 1 Laurent 即 - 是积分过程中唯一残留下来的 系数
1例14求ze-在孤立奇点处的留数求z2cos-在孤立奇点0处的留数。例15zsinZ求例16在孤立奇点0处的留数z
例14 求 在孤立奇点0处的留数。 1 z ze 例 求 在孤立奇点0处的留数。 1 15 cos 2 z z 例 求 在孤立奇点0处的留数。 sin 16 z z
设函数f(z)在区域D内除有限个孤立定理5.7（留数定理）奇点 z1,Z2，…,zn外处处解析.C是D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，则nΦf(2)dz=2元iERes[f(z),z].(3)k=1C
定理5.7(留数定理) 设函数 f (z)在区域D内除有限个孤立 奇点 z1 , z2 , ., zn 外处处解析. C是D内包围各奇点的一条 正向简单闭曲线, 则 1 ( )d 2 π Res[ ( ), ]. n k C k f z z i f z z = = （3） D z1 z z2 3 zn C1 C2 C3 Cn C