《复变函数与积分变换》课程教学资源（PPT课件）第九章 拉普拉斯变换 9.3拉普拉斯逆变换

第二讲89.3拉普拉斯逆变换S 9.4 拉氏变换的应用及综合举例

§9.3 拉普拉斯逆变换 §9.4 拉氏变换的应用及综合举例 第二讲

8 9.3 拉普拉斯逆变换反演积分公式利用留数计算反演积分二

§9.3 拉普拉斯逆变换 一、 反演积分公式 二、 利用留数计算反演积分

LESd豪反演积分公式一Laplace逆变换公式1.公式推导推导（(1)由Laplace变换与Fourier变换的关系可知函数f(t)的Laplace变换F(s)=F(β+jの)就是函数f(t)u(t)e-Bt的Fourier变换，即 F(s)= F(β + jo)= ( [f(t)u(t)e-βt je-jotdt.(2)根据Fourier逆变换，在f(t)的连续点t处，有f(t)u(t)e-βt :+~F(β+jw)ejotd.2元

一、反演积分公式——Laplace逆变换公式 1. 公式推导 函数 f (t) 的 Laplace变换 F(s) = F( + j) 就是函数 f (t)u(t)e − t 的Fourier变换， ( ) ( ) [ ( ) ( )e ]e d .  + − − − F s = F + j = f t u t t  t j t 即   ( ) d . 2 1 ( ) ( )e e  + − − =  +    t jt F j π f t u t (2) 根据 Fourier 逆变换，在 f (t) 的连续点t处，有 推导 (1) 由 Laplace变换与Fourier变换的关系可知

XESo豪反演积分公式一Laplace逆变换公式1.公式推导推导(2)根据Fourier逆变换，在f(t)的连续点t处，有f(t)u(t)e-βt = 1tF(β+jo)ejotda2元Songh(3)将上式两边同乘eβt，并由s=β+ jの，有1β+jooF(s)estds.f(t)u(t)2元jB-joo1rβ+jooF(s)estds, (t>0).即得f(t) =2元jJβ-joo

一、反演积分公式——Laplace逆变换公式 1. 公式推导 在 f (t) 的连续点t处，有 ( ) d . 2 1 ( ) ( )e e  + − − =  +    t jt F j π f t u t 推导 (2) 根据 Fourier 逆变换， (3) 将上式两边同乘 e , 并由 有  t s =  + j , ( ) d . 2 1 ( ) ( ) e  +  −  = j j st F s s π j f t u t   即得 ( ) d , (t  0). 2 1 ( ) e  +  −  = j j st F s s π j f t  

XeSongla反演积分公式—一Laplace逆变换公式2.反演积分公式根据上面的推导，得到如下的Laplace变换对F(s)= (" f(t)e-stdt;(A)↑F(s)estd s, (t > 0).f(t)(B)2元1B-jaP227（9.16）式β+ jco定义 称(B)式为反演积分公式。注反演积分公式中的积分路径是Cβs平面上的一条直线ReS=ββ-joo该直线处于F(s）的存在域中。H

定义 称(B)式为反演积分公式。 该直线处于 的存在域中。 Re s =  , F(s) 注 反演积分公式中的积分路径是 s 平面上的一条直线 c  + j  − j   P227 (9.16 )式 一、反演积分公式——Laplace逆变换公式 2. 反演积分公式 根据上面的推导，得到如下的Laplace 变换对: