s6.4几个初等函数构成的映射XaSongh一、幂函数指数函数、三、综合举例XaSonXeSoug
§6.4 几个初等函数构成的映射 一、幂函数 二、指数函数 三、综合举例
一、幂函数W=z".（n≥2整数）1. 保形性dw解析性(1)在z平面上处处可导，且nzdzdw±0.(2) 当 z±0 时,dz单值性在z平面上不是双方单值的，比如：对于W=2,取2=e3Z2 =e"i, 则 z =z2.结论幂函数W=z"在z平面上除原点外是第一类保角映射·在角形域0<<上，如果，则幂函数W="是共形映射。H
1. 保形性 单值性 解析性 , n 一、幂函数 w = z ( n 2 整数) (1) 在 平面上处处可导，且 ; d d −1 = n nz z w z 0. d d z w (2) 当 z 0 时， 在 z 平面上不是双方单值的， 对于 , 4 w = z 结论 幂函数 在 平面上除原点外是第一类保角映射。 n w = z z 在角形域 上，如果 ，则幂函数 是 n w = z 共形映射。 0 0 0 n 2π 比如： z1 = e π 2 i e , 2 πi 取 z = . 4 2 4 1 则 z = z
、幂函数一、w=zn,（n≥2整数）2.映射特点令 z=reio,则有w=r"eine,即 [wl=r", argw=ng.2元n0.<2元0.nW=Ane.0z=n/wRnR特点幂函数W=z"扩大顶点在原点的角形域（或扇形域）。类似地，根式函数w=z作为幂函数的逆映射，其映射特点是缩小顶点在原点的角形域（或扇形域）
, n 一、幂函数 w = z ( n 2 整数) e , n in e , 则有 w = r i 令 z = r 2. 映射特点 n w = z n z = w |w| r , arg w n . n 即 = = R n R n 0 2π 0 2π n 特点 幂函数 扩大顶点在原点的角形域(或扇形域)。 n w = z 类似地，根式函数 w = n z 作为幂函数的逆映射，其映射 特点是缩小顶点在原点的角形域(或扇形域)。 0 n 0
例6.13设区域D={z:|z<1,Imz>0,Rez>0),求一共形映射，将D变为上半平面(w)(z)W(z1)(z2)1+ z,Z, = zZ2W=-Z
例6.13 设区域 D z z z z = : 1, Im 0,Re 0 , 求一共形映射，将D变为上半平面。 1 i （z) （w) （z1) (z2) 2 1 z z = 1 2 2 1 1 z z z + = − 2 w z = 2 2 2 2 1 1 z w z + = −
::4元例设区域D=z:0<argz<求一共形映射将D映射成5单位圆域。P157例6.14XuSong解(z1)(z)=47714元元55(Vz)5-i(4/z)5 +i(w)Z2-i(z2)W=Z2+i-1H
5 2 1 z = z z i z i w +− = 5 4 5 4 ( ) ( ) 4 1 z = z z i z i w +− = 22 解 4 π5 (z) π5( ) 1z ( ) 2 (w) z −1 1 P157 例6.14