>》》一、线性空间的定义6第5章线性空间与线性变换那么，V就称为实数域R上的线性空间线性空间有时也被称为向量空间，线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向量，线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算例1次数不超过n的多项式的全体，记作Px，即P[], - (p(x)-a,"..+ax+ao.,.,apa e r)对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，故只要验证Px对运算封闭
第5章 线性空间与线性变换 6 线性空间有时也被称为向量空间， 例 1 次数不超过 n 的多项式的全体，记作 ， n P x = = + + + ( ) 1 0 1 0 , , , , n n n n P x p x a x a x a a a a 这是因为：通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律， 线性空间中的元素不论其本来的性质如何，统称为向 量. 线性空间中满足上述八条规律的加法及数乘运算，统称为线性运算. 即 对于通常的多项式加法、数乘多项式的乘法构成线性空间. n 故只要验证 P x 对运算封闭. 那么， V 就称为实数域 R 上的线性空间. 一、线性空间的定义
一、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换对P[x中任意两个多项式p(x)=ax"+...+a,x+a。q(x)=b,x"++bx+b。，及任意的实数，有p(x)+q(x)=(a,"+.+ax+a)+(b,x" +.+bx +b.) =(a. +b,)" +..+(a, +b.)x +(ao+b.)eP[x].ap(x)= a(a,x" +.+ax +a.)= (aa, )x" +.+(a,)x +(aa)eP[x].所以 Px是一个线性空间
第5章 线性空间与线性变换 7 ( ) + = + + + + + + + ( ) ( 1 0 1 0 ) ( ) n n n n p x q x a x a x a b x b x b ( ) = + + + ( 1 0 ) n n p x a x a x a 对 中任意两个多项式 ， ，及 任意的实数 ，有 n P x ( ) = + + + 1 0 n n p x a x a x a ( ) = + + + 1 0 n n q x b x b x b 所以 是一个线性空间. n P x ( ) ( ) ( ) = + + + + + + 1 1 0 0 , n n n n a b x a b x a b P x ( ) ( ) ( ) = + + + 1 0 , n n n a x a x a P x 一、线性空间的定义
、线性空间的定义0第5章线性空间与线性变换例2设集合C[a,b]=((x)f(x)为[a,b]上的连续函数是定义在区间[a]上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函数的乘法构成线性空间这是因为：通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的运算性质可知，C[a,b]对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭
第5章 线性空间与线性变换 8 设集合 C a b f x f x a , ,b = ( ) ( )为 上的连续函数 是定义在区间a b, 上的连续实函数全体所成的集合，关于通常的函数加法和数乘函 数的乘法构成线性空间. 这是因为：通常的函数加法及乘数运算显然满足线性运算规律，并且根据连续函数的 运算性质可知， C a b , 对通常的函数加法和数乘函数的乘法封闭. 一、线性空间的定义 例2
一、线性空间的定义第5章线性空间与线性变换8例3aunaia12...a2ia22azn设Mm(R)=A=ay(I≤i≤m,l≤j<n)eR：..amnamlam2是实数域上的矩阵全体所成的集合显然Mmx（R）是非空的，Mmx（R）对通常的矩阵加法和数乘构成线性空间，这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规律，并且Mmx（R）对通常的矩阵加法和数乘运算封闭
第5章 线性空间与线性变换 9 例 3 是实数域上的矩阵全体所成的集合. 设 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 ;1 n n m n ij m m mn a a a a a a M a i m j n a a a = = R R A 加法和数乘构成线性空间. 显然 M m n (R) 是非空的， M m n (R) 对通常的矩阵 这是因为：通常的矩阵加法和数乘运算显然满足线性运算规 律，并且 ( ) 对通常的矩阵加法和数乘运算封闭. M m n R 一、线性空间的定义
一、线性空间的定义10第5章线性空间与线性变换特别地，当m=n时，n阶方阵的全体所成的集合anaj2ayn...a21a22danM(R)=Aj≤n)eR也是实数域上的线性空间..::ana.am2
第5章 线性空间与线性变换 10 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 , n n n ij n m nn a a a a a a M a i j n a a a = = R R A 也是实数域上的线性空间. 特别地，当 m n = 时， n 阶方阵的全体所成的集合 一、线性空间的定义