>>>>二、线性空间的性质第5章线性空间与线性变换16性质1零元素是唯一的证明设0,0,是线性空间V中的两个零元素，即对任何αV，有α+0,=α,α+0=α于是有0,+0,=02,0+0=0所以0=0+0,=0+0=0性质2任元素的负元素是唯一的（以后将α的负元素记作一Qα）证明设α有两个负元素β,，即α+β=0,α+=0.于是β=β+0=β+(α+)=(β+α)+=0+=
第5章 线性空间与线性变换 16 性质 1 零元素是唯一的. 证明 设 1 2 0 0, 是线性空间V 中的两个零元素，即对任何 V ，有 + = + = , 1 2 0 0 ， 于是有 , 2 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 + = + = 所以 1 1 2 2 1 2 0 0 0 0 0 0 = + = + = . 性质 2 任一元素的负元素是唯一的（以后将 的负元素记作 − ）. 证明 设 有两个负元素 , ，即 + = + = 0 0 , . 于是 = + = + + = + + = + = 0 0 ( ) ( ) . 二、线性空间的性质
二、线性空间的性质17第5章线性空间与线性变换性质30α=0(-1)α=-α,20=0α+0α=lα+ 0α=(1+0)α=lα=α ,所以0α =0 , α+(-1)α=lα+(-1)α=[1+ (-1)α=0α=0,证明(-1)α= -α ;所以10 = [α+(-1)α]= α+ (-)α=/ α +(-) α= 0α= 0如果元α=0，则=0或α=0性质4证明若元0，在入α=0两边乘，得(a)=0=0(a)-()aα= lα=α而所以α=0
第5章 线性空间与线性变换 17 性质 3 0 1 = − = − = 0 0 0 ; ; ( ) . 证明 + = + = + = = 0 1 0 1 0 1 ( ) ，所以0 = 0 ， ( ) ( ) ( ) + − = + − = − = = 1 1 1 1+ 1 0 0， 所以 (− = − 1) ； ( ) ( ) ( ) = + − = + − = + − = = 0 0 [ 1 ] 0 . 性质 4 如果 = 0，则 = 0或 = 0 . 证明 若 0，在 = 0两边乘 1 ，得 ( ) = = 1 1 0 0， 而 ( ) = = = 1 1 1 ， 所以 = 0 . 二、线性空间的性质
三、线性空间的子空间18第5章线性空间与线性变换定义2设V是实数域R上线性空间，W是v的一个非空子集，如果W关于V的加法和数乘运算也构成线性空间，则称W是V的一个子空间例如，n元齐次线性方程组Ax=0的解空间S=(xeR"|4x=0)就是线性空间R”的子空间定理实数域R上线性空间V的非空子集W成为V的一个子空间的充分必要条件是W关于V的加法和数乘是封闭的
第5章 线性空间与线性变换 18 设V 是实数域 上线性空间，W 是V 的一个非空子集. 如果W 关于V 的加法和数乘运算也 构成线性空间，则称W 是V 的一个子空间. 例如， n 元齐次线性方程组 Ax = 0的解空间 n S = = x Ax 0 就是线性空间 n 的子空间. 定理 实数域 上线性空间V 的非空子集W 成为V 的一个子空间的充分必要条件 是W 关于V 的加法和数乘是封闭的. 三、线性空间的子空间 定义2
三、线性空间的子空间第5章线性空间与线性变换19例7在实数域R上线性空间aainai2..aaia22a2nM (R)=a,(lsi.j≤n)eR.....antam2d.中，对角矩阵所成的集合a.(Isisn)eRD,(R)=是M,(R）的非空子集，且D(R关于M.(R)的加法和数乘是封闭的，所以D,R）是M.（R）的一个子空间
第 5 章 线性空间与线性变换 19 在实数域 R 上线性空间 ( ) ( ) 11 12 1 21 22 2 1 2 1 , nn n ij n m nn a a a a a a M a i j n a a a = = R R A 中，对角矩阵所成的集合 ( ) ( ) 11 22 1 n ii nn a a D a i n a = = R R A 是 ( ) Mn R 的非空子集，且 ( ) Dn R 关于 ( ) Mn R 的加法和数乘是封闭的，所以 ( ) Dn R 是 ( ) Mn R 的一个子空间. 三、线性空间的子空间 例7