第4章相似矩阵及二次型04相似矩阵及二次型《线性代数》
第4章 相似矩阵及二次型 1 相似矩阵及二次型 《线性代数》 04
目录/Contents?E山4.1向量的内积、长度及正交性4.2方阵的特征值与特征向量4.3相似矩阵4.4实对称矩阵的相似对角化4.5二次型及其标准形4.6正定二次型与正定矩阵
第4章 相似矩阵及二次型 2 目录/Contents 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 方阵的特征值与特征向量 相似矩阵 实对称矩阵的相似对角化 二次型及其标准形 正定二次型与正定矩阵 向量的内积、长度及正交性
目录/Contents?兰4.1向量的内积、长度及正交性一、向量的内积、长度二、正交向量组三、施密特正交化过程四、正交矩阵
第4章 相似矩阵及二次型 3 目录/Contents 4.1 向量的内积、长度及正交性 一、向量的内积、长度 二、正交向量组 三、施密特正交化过程 四、正交矩阵
一、向量的内积、长度第4章相似矩阵及二次型4J定义1设有n维向量*：[x]=x=x+x++x称[x为向量x与y的内积内积的性质（其中x,y与z都是n维列向量，为实数）：( [x,]]=[y,对] ;(ii)[ax,]=[x,y]=[x,ay] ;(iv)[x,对]≥0，当且仅当x=0时，[x,x]=0() [x+y,]=[x,]+[y,] ;利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式[x,y]≤[x,x][y,]
第4章 相似矩阵及二次型 4 定义 1 设有n 维向量 1 1 2 2 , n n x y x y x y = = x y ， 令 T 1 1 2 2 , n n x y x y = = + + + x y x y x y ， 称 x y, 为向量 x 与 y 的内积. 内积的性质（其中 x y, 与 z 都是 n 维列向量， 为实数）： (i) x y y x , , = ； (ii) x y x y x y , , , = = ； (iii) x y z x z y z + = + , , , ； (iv) x x, 0 ，当且仅当 x = 0时， x x, 0 = . 利用这些性质，还可以证明著名的柯西-施瓦茨（-Schwarz）不等式 2 x y x x y y , , , . 一、向量的内积、长度
一、向量的内积、长度第4章相似矩阵及二次型5xiX2定义2设有n维向量xnIx= /[x,x] = x2 +x2 +...+x2,称x为向量x的长度（或范数）向量的长度具有下述性质：(0）非负性当x￥0时，叫>0；当x=0时，叫=0；()齐次性-;（iii）三角不等式x+≤+证明(i)与(ii)是显然的，下面证明(i)。因为x+=[x+y,x+]=[x,x]+2[x,y]+[y,],由施瓦茨不等式,有[x,J]≤/[x,x][y,J]
第4章 相似矩阵及二次型 5 2 2 2 1 2 , n x x x = = + + + x x x ， 称 x 为向量 x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下述性质： (i) 非负性 当 x 0 时， x 0 ；当 x = 0 时， x = 0 ； (ii) 齐次性 x x = ； (iii) 三角不等式 x y x y + + . (i)与(ii)是显然的，下面证明(iii). 因为 2 x y x y x y x x x y y y + = + + = + + , , 2 , , ， 由施瓦茨不等式,有 x y x x y y , , , ， 一、向量的内积、长度 定义 2 设有 n 维向量 1 2 n x x x = x ， 令 证明