2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何由数乘的定义很容易得到以下结论（见图5-17）：(1)如果两个向量a，b满足b=a（是数），则a//b反之，若a//b且a≠0则b=元a(2)若记e为非零向量的同向单位向量，则e，=（证明留作习题）aab=Mae图5-1721
21 第五 章 向量与空间解析几何 由数乘的定义很容易得到以下结论（见图 5-17）： （1） 如果两个向量a，b 满足b a = （ 是数），则a b / / ； 反之，若a b / / 且a 0，则 b a = . （2） 若记 a e 为非零向量a 的同向单位向量，则e a a a = (证明留作习题). 图5-17 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 ea a b = a
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何例3设P、P为u轴上坐标为u，u,的任意两点，又e为与u轴正向一致的单位向量（见图5-18），则有PP,=(uz-u)e.证当->时,与e同向故=e(>0)由=因此 PP, =(uz -u)e ;当u-u=o时,PP=0，(u-)e=0，因此pP=(u-u)e;当0时，与e反向，故=-e(>0），由==因此PP =-e=-(-u)e=(uz-u)ePiP2ueuU222图5-18
22 第五 章 向量与空间解析几何 例 3 设 P1 、 P2 为u 轴上坐标为 1 u ， 2 u 的任意两点，又 e 为与u 轴正向一致 的单位向量（见图 5-18），则有 PP u u 1 2 2 1 = − ( ) e . 证 当 2 1 u u − 0 时，PP1 2 与 e 同向，故 P P1 2 = e ( 0) ，由 = = − PP u u 12 2 1 ， 当 2 1 u u − = 0时， 当 2 1 u u − 0 时，PP1 2 与e 反向，图5-18 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 e P1 u1 P2 u2 u 因此 PP u u 1 2 2 1 = − ( ) e ； PP1 2 = 0，(u u 2 1 − = )e 0，因此 PP u u 1 2 2 1 = − ( ) e ； 故 P P1 2 = − e ( 0)，由 = = − PP u u 1 2 1 2， 因此 PP u u u u 1 2 1 2 2 1 = − = − − = − e e e ( ) ( )
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何设空间有一向量a=M,M，1其中 M(,y1,z)、M(x2,y2,22)公由加法定理可知a可分解为三个aZ1分别平行于x轴、y轴和z轴的M2向量a、a和a它们称为a在xM轴、V轴和z轴的三个分向量.显kyiayJ2然a=a+a,+a.见图5-19.1图5-1923X2
23 第五 章 向量与空间解析几何 设空间有一向量 1 2 a = M M ， 其 中 M x y z ( 1 1 1 , , ) 、 ( ) 2 2 2 M x y z , , ， 由加法定理可知 a 可分解为三个 分别平行于 x 轴、 y 轴和 z 轴的 向量ax 、ay 和az ，它们称为a在 x 轴、y 轴和 z 轴的三个分向量. 显 然 a a a a = + + x y z . 见图 5-19. 图5-19 z z2 az z1 M1 a M2 x2 x ax y1 ay y2 y x1 k i j O 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标▲▲▲
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何而Prj.a=Prja.=x-x=axPrj,a=Prj,a, = y2-y =a,Prj.a=Prja,=z2-z, =a,,若用i、i和k分别表示与x轴、y轴和z轴正向一致的三个单位向量称它们为基本单位向量，则有ax=(x2x)i，a,=(2-)，a.=(z2-z)k，因此a=a+a+a_=(x,-x)i+(y-y)j+(=,-z)k=ai+aj+ak称上式为向量a按基本单位向量的分解式或的向量表示式24
24 第五 章 向量与空间解析几何 而 Pr j Pr j 2 1 a a x x x x = = − = x x a ， Pr j Pr j 2 1 a a y y y y = = − = y y a ， Pr j Pr j 2 1 a a z z z z = = − = z z a , 若用 i 、 j 和k 分别表示与 x 轴、 y 轴和 z 轴正向一致的三个单位向量称它 们为基本单位向量，则有a i x = − ( x x 2 1 ) ，a j y = − ( y y 2 1 ) ， a k z = − (z z 2 1 ) , 因此 a a a a i j k i j k = + + = − + − + − = + + x y z x y z ( x x y y z z a a a 2 1 2 1 2 1 ) ( ) ( ) ， 称上式为向量a按基本单位向量的分解式或a的向量表示式. 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何一方面，从向量a可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影ax，a,和a，另一方面从a，a和a,可以唯一定出向量a，这样有序数组a，a，a,就与向量a一一对应，于是将ax,a,a,称为向量a的坐标,记为a=(ax,a,a)也称向量的坐标表示式25
25 第五 章 向量与空间解析几何 一方面, 从向量a可以唯一定出它在三条坐标轴上的投影 x a ， y a 和 z a ， 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 另一方面从 x a ， y a 和 z a 可以唯一定出向量a， 这样有序数组 x a ， y a ， z a 就 与向量a一一对应， 于是将 x a ， y a ， z a 称为向量a的坐标，记为a = (a a a x y z , , ) , 也称向量a的坐标表示式