教学建议学习目标第四章积分及其应用84.1定积分的概念与性质84.2不定积分的概念与性质84.3积分的基本公式84.4换元积分法84.5分部积分法84.6无限区间上的反常积分84.7积分学的应用
§4.1 定积分的概念与性质 §4.3 积分的基本公式 第四章 积分及其应用 §4.4 换元积分法 §4.2 不定积分的概念与性质 §4.5 分部积分法 §4.6 无限区间上的反常积分 §4.7 积分学的应用 教学建议 学习目标
$ 4.4换元积分法在利用基本积分公式对被积函数f(x)求不定积分f(x)dx时,要求积分变量X与被积函数f(x)中的元(即X)必须严格对应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法例如, cos2xdx ± sin 2x +C这是因为(sin 2x) = 2 cos 2x. 所以,sin 2x不是 cos2x的原函数换元要解决上述问题，可进行适当的变量替换积分法
§4.4 换元积分法 这是因为 (sin 2x) = 2cos 2x. cos 2 d sin 2 , 例如, x x x +C 所以, sin 2x 不是 cos2x 的原函数. 换元 要解决上述问题,可进行适当的变量替换 积分法 在利用基本积分公式对被积函数 求不定积分 时,要求积分变量 与被积函数 中的元(即 )必须严格对 应.只有这样才能直接积分.否则,就不能利用直接积分法. f x x ( )d x f (x) x f (x)
I cos 2xdx ± sin 2x +C例如换元这是因为(sin 2x)= 2 cos 2x.所以,积分法sin 2x不是cos2x的原函数令u = 2x, 则 du = 2dx, dx = du.被积函数 cos 2x = cosu,du被积表达式 cos 2xdx = cosu2{ cos 2xdx = [ cosu·]du所以, sin u+C天 si 2x+C.将u=2x 代回
这是因为 (sin 2x) = 2cos 2x. cos 2 d sin 2 , 例如 x x x +C , sin 2x 不是 cos2x 的原函数. 换元 积分法 = sin u +C 2 1 所以, 令 u = 2x, 则 d . 2 1 du = 2dx, dx = u 被积函数 cos 2x = cosu, 被积表达式 d , 2 1 cos 2xdx = cosu u 所以, x x = u du 2 1 cos2 d cos 将 u = 2x 代回 sin 2 . 2 = 1 x +C
换元今u = 2x, 则 du = 2dx, dx = I du.积分法cos 2xdx = f cos u· ↓ du是否Isin u+C=Isin 2x+C.正确呢?由于( sin 2x) = ↓ cos 2x · 2 = cos 2x,即1sSin 2x是cos 2x的原函数.所求不定积分是正确的.72上述方法具有普遍性
换元 积分法 = sin u +C 2 1 令 u = 2x, 则 d . 2 1 du = 2dx, dx = u x x = u du 2 1 cos2 d cos sin 2 . 2 = 1 x +C cos 2 2 cos 2 , 2 1 sin 2 ) 2 1( x = x = x 由于 即 sin 2x 是 的原函数.所求不定积分是正确的. 2 1 cos2x 上述方法具有普遍性 是否 正 确 呢?
求不定积分2x · cos x?dx.分析案例1从求导数入手逆运算微分法积分法对于复合函数V = sin x?复合函以上积逆运黛令u=x, 则 y=sin u. y数导数分过程(sin x) = (sin u) · (x) = cosu·(x) = cos x- ·Zx.将上式右端求不定积分：cos x2 . 2xdx =I cos xdx2:/ cos x2 . (x2)dx =变量替换变量还原用积分公式sin u+Ccosu dusin x)= cos xAru= x2= sin x2 +C
案例1 分析 求不定积分 2 cos d . 2 x x x 微分法 逆运算 积分法 从求导 数入手 对于复合函数 sin , 2 y = x 令 , 2 u = x 则 y = sin u. 2 y = sin x 对 x 的导数为 (sin ) (sin ) ( ) cos ( ) cos 2 . 2 2 2 2 x = u x = u x = x x 将上式右端求不定积分: = = 2 2 2 2 2 cos x 2xdx cos x (x )dx cos x dx ======= 变量替换 令 x = u 2 cosu du sin u +C ======= 变量还原 2 u = x ========= 用积分公式 (sin x) = cos x sin . = x 2 +C 复合函 数导数 以上积 分过程 逆运算