第六章内容导航第一节多元函数的概念、极限与连续第二节多元函数的偏导数与全微分第三节复合求导、隐函数求导及方向导数第四节多元函数微分学的应用
1 第六章 多元函数微分学 第六章 内容导航 第二节 多元函数的偏导数与全微分 第三节 复合求导、隐函数求导及方向导数 第四节 多元函数微分学的应用 第一节 多元函数的概念、极限与连续
课前导读上册我们学习了一元函数微积分所讨论的均是单变量函数，在现实生活中这样的情形则是少数，而大量的情况往往是多变量的变化，即一个变量需要依赖于多个因素（多个变量）这种情况反映到数学上来即为多元函数问题.由此而来的是多元函数的微分和积分问题．例如在一元函数中，如果limf(x)=A，当且仅当limf(x)=limf(x)=A，即当x→x时f(x)的极限存在，只需要左极限和右极限同时存在即可．但对于二元函数来说，极限存在的要求更复杂．本节将在一元函数的基础上，讨论多元函数的极限与连续，我们将以二元函数为主要讨论对象．首先我们把直线上的邻域和区间的概念推广到平面区域上去然后再探讨平面区域上的二元函数的极限和连续的概念
课 前 导 读 2 上册我们学习了一元函数微积分，所讨论的均是单变量函数，在现实生活中， 这样的情形则是少数，而大量的情况往往是多变量的变化，即一个变量需要依赖 于多个因素（多个变量）这种情况反映到数学上来即为多元函数问题. 由此而来 的是多元函数的微分和积分问题. 例 如在一元函数中，如果 0 lim ( ) x x f x A → = ，当且 仅当 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → + → − = = ，即当 0 x x → 时 f x( ) 的极限存在，只需要左极限和 右极限同时存在即可. 但对于二元函数来说，极限存在的要求更复杂. 本节将在 一元函数的基础上，讨论多元函数的极限与连续，我们将以二元函数为主要讨论 对象. 首先我们把直线上的邻域和区间的概念推广到平面区域上去，然后再探讨平 面区域上的二元函数的极限和连续的概念
一、平面上的集合第六章多元函数微分学R2=R×R=((x,)|x,eR)表示xOy坐标平面,设M(x,J)与Mz(x2,y2)为xOy平面上的两点，则d=(x-)+(-)表示M(,)与M(2,)的距离坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记作E=((x,J)(x,y)具有某种性质
3 第六章 多元函数微分学 ( ) 2 R R R R = = x y x y , , 表示 xOy 坐标平面， 坐标平面上具有某种性质的点的集合，称为平面点集，记作 E x y x y = ( , , ) ( )具有某种性质， 一､平面上的集合 设 M x y 1 1 1 ( , )与 M x y 2 2 2 ( , )为 xOy 平面上的两点， 则 ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 d x x y y = − + − 表示 M x y 1 1 1 ( , )与M x y 2 2 2 ( , ) 的距离
1、领域的概念第六章多元函数微分学设P(xo,yo）是xOy面上的一点，是一个正数，xOy面上所有与点P的距离小于8的点的集合，称为点P的邻域，即U(P,S)=(Pll P,P<8),或U(Po,8) =((x,y)ll /(x-xo) +(y-y0)2 <8) S图6-1.P这是一个以P.为圆心，8为半径的圆的内部（见图6-1）所以P又称为邻域的中心，叫做邻域的半径；同样可以定义平面上的去心邻域，即U(Po,8)=((x, y)ll0< /(x-x)2 +(y-yo) 8)在讨论问题时，如果不强调邻域的半径，点P.的邻域可以简记为U(P）.4?
4 第六章 多元函数微分学 设 0 0 0 P x y ( , ) 是 xOy 面上的一点， 是一个正数，xOy 面上所有与点 P0 的距离 小于 的点的集合，称为点 P0 的 邻域，即 0 0 U P P P P ( , ) { || | } = , 或 2 2 0 0 0 U P x y x x y y ( , ) {( , ) || ( ) ( ) | } = − + − . 这是一个以 P0 为圆心， 为半径的圆的内部（见图 6-1）， 0 2 2 0 0 0 U P x y x x y y ( , ) {( , ) || 0 ( ) ( ) | } = − + − . 在讨论问题时，如果不强调邻域的半径，点 P0 的邻域可以 简记为 0 U P( ). 1､领域的概念 P 0 图6-1 所以 P0 又称为邻域的中心， 叫做邻域的半径； 同样可以定义平面上的去心邻域，即
2、区域的概念第六章 多元函数微分学设D是平面上的点集，如果D中的点满足下面两个条件，则称D为开区域(1）对于D中的任意一点P，如果都能找到它的一个邻域（见图6-2），使得邻域能够包含在点集D中（这样的点P称为点集的内点）：(2）对于D中的任意两点，都能用包含在D中的折线连接起来，即折线上的点都在D中，见图6-3开区域简称区域图6-3图6-2
5 第六章 多元函数微分学 设 D 是平面上的点集，如果 D 中的点满足下面两个条件，则称 D 为开区域. (1) 对于 D 中的任意一点 P，如果都能找到它的一个邻域（见图 6-2）， 使 得邻域能够包含在点集 D 中（这样的点 P 称为点集的内点）. (2) 对于 D 中的任意两点，都能用包含在 D 中的折线连接起来，即折线上 的点都在 D 中，见图 6-3. 开区域简称区域. 2､区域的概念 P D P1 P2 D 图6-2 图6-3