1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何定理1向量AB在U轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量AB的夹角6的余弦，即Prj,AB=ABcoso证将向量AB的始点置于uB轴（见图5-11）则由直角三角形关Y014系得-uBPr ju,AB=Prj,AB-ABcoso图5-111600
16 第五 章 向量与空间解析几何 定理 1 向量 AB 在u 轴上的投影等于向量的模乘以轴与向量 AB 的夹角 的余弦，即 Pr j cos u AB AB = . 证 将向量 AB 的始点置于 u 轴（见图 5-11）， 图5-11 1、向量的投影及投影定理 A A＇ B＇ u＇ B u 则由直角三角形关 系得Pr j Pr j cos u u AB AB AB = =
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投影为负；成直角时，向量的投影为零（见图5-12），Cu图5-1217
17 第五 章 向量与空间解析几何 当一非零向量与其投影轴成锐角时，向量的投影为正；成钝角时，向量的投 影为负; 成直角时，向量的投影为零（见图 5-12）. 1、向量的投影及投影定理 图5-12 c b a u
1、向量的投影及投影定理第五章向量与空间解析几何定理2两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和证设点A、B和C在轴上的投影分别是A'、B'和C"，则Prj,AB=AB'Prj,BC=B'C"，Prj,AC=A'C",由于无论A'、B'和C'在轴上的位置如何，总有uORCA'B'+B'C"= A'C"故Pri.AB+Prj,BC=Pri.AC见图5-13.图5-13本性质可推广到有限个向量的情形：Prj,a+Prj,a,+...+Prja,=Prj(a +a,+...+a,)180定理3: Pr j,(Aa)=aPrj,a.证证明留作习题
18 第五 章 向量与空间解析几何 定理 2 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在轴上的投影的和. 证 设点 A 、 B 和C 在轴上的投影 分别是 A、 B 和C ，则Pr j u AB A B = ， Pr j u BC B C = ，Pr j u AC A C = ， 本性质可推广到有限个向量的情形： Pr j Pr j Pr j Pr j u u u n u n a a a a a a 1 2 1 2 + + + = + + + ( ). 证 证明留作习题. 图5-13 1、向量的投影及投影定理 定理 3：Pr j Pr j u u ( a a ) = . 由于无 论 A、B和C在轴上的位置如何，总有 A B B C A C + = ， 故Pr j Pr j Pr j u u u AB BC AC + = ，见图 5-13. A＇ B＇ C＇ C B A u
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何以共起点向量、b为平行四边形相邻两边，以a向量的起点作为起点的其对角线表示的向量为两个向量的和，记为α+b，见图5-14.以向量的终点为起点，b向量的终点为终点的对角线向量为向量的差.见图5-15，记为a-b=a+(-b)BB-bc-a+bbb00AAaa图5-15图5-141900
19 第五 章 向量与空间解析几何 以共起点向量 a、b 为平行四边形相邻两边，以 a 向量的起点作为起点的其 对角线表示的向量为两个向量的和，记为 a + b，见图 5-14. 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 图5-14 图5-15 B O A C b a 以 a 向量的终点为 起点，b 向量的终点为终点的对角线向量为向量的差. 见 图 5-15，记 为 a b a + b − = −( ). B O A C b a
2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标第五章向量与空间解析几何设入是一个数，向量与数的乘积规定为当>0时，a表示一向量，其大小a=a，方向与a同向；当=0时，=0是零向量；当0时，a表示一向量，其大小a=-a，方向与a反向（见图5-16）特别地，当几=-1时，（-1)a=-a2aC20图5-16
20 第五 章 向量与空间解析几何 设 是一个数，向量 a 与数 的乘积a规定为 当 0时，a表示一向量，其大小 a a = ，方向与a同向； 当 = 0时，a = 0是零向量； 当 0时，a表示一向量，其大小 a a = − ，方向与a反向（见图 5-16）. 特别地，当 = −1时，(− = − 1)a a . 图5-16 2、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标 a 2a 2 1 − a