第七章内容导航第一节二重积分的概念、计算和应用第二节三重积分的概念、计算和应用第三节对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分第四节对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分第五节格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
1 第七章 多元函数积分学 第七章 内容导航 第二节 三重积分的概念、计算和应用 第三节 对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分 第四节 对面积的曲面积分与对坐标的曲面积分 第一节 二重积分的概念、计算和应用 第五节 格林公式、高斯公式和斯托克斯公式
课前导读在学习定积分的时候我们知道，如果函f(G)y=f(μ)数y=f(x)在[a,b]上连续且f(αx)≥0，那么对于直线x=a,x=b，x轴以及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间的任意划分，将曲边梯形分成若于个部分小的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲xaxix2X,5,XIXu-1 b边梯形，得到曲边梯形面积的近似值（见图7图 7-11)
课 前 导 读 2 图 7-1 在学习定积分的时候我们知道，如果函 数 y f x = ( ) 在[ , ] a b 上连续且 f x( ) 0 ， 将曲边梯形分成若干个部分小 的曲边梯形，然后以小矩形来近似替代小的曲 边梯形，得到曲边梯形面积的近似值（见图 7- 1）， 那 么 对于直线 x a x b = = , ，x 轴以及曲线 y f x = ( ) 所围成的曲边梯形的面积，可以通过对区间 的任意划分， y O x a x1 x2 xi i f ( i ) y= f (x) xi+1 xu-1 b
课前导读最后，将区间“无限细分”取极限得到曲边梯形面积的精确值即通过划分、近似、求和、取极限所得结果就是定积分[°f(x)dx的值（见图7-2）：S=lim2f(c)Ax=lf(x)dxyy=f(n)S图7-2ba?
课 前 导 读 3 最后，将区间“无限细分”取极限得到曲边梯形面积的精确值. 即通过划分、近似、求和、取极限所得结果就是定积分 ( )d b a f x x 的 值（见 图 7-2）. O S y=f (x) a b x y S=lim f ( i xi= b a f (x)dx n i=1 图 7-2 ▲▲▲
课前导读作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处理，比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了已知截面求体积.但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得困难.因此我们需要用二重积分、或三重积分来解决此类问题
课 前 导 读 4 作为一元函数的定积分有许多应用，但仍有许多问题无法处 理，比如，在定积分的应用中，我们计算了旋转体的体积、并作了 已知截面求体积.但对一般形状的物体，用定积分求其体积就显得 困难.因此我们需要用二重积分、或三重积分来解决此类问题
课前导读在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别与联系：与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”：所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域．它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.5
课 前 导 读 5 在学习二重积分的时候，注意和定积分的相关概念之间的区别 与联系. 与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的， 它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式 的极限”. 所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是 一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的 一个区域. 它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来 计算