多27无穷小量的比较第模块函数、极限、连续函数、极限、连续第一模块应用数第七节无穷小量的比较学定义 设 α(x)和(x)为（x→x或x→）两个无穷小量.若它们的比有非零极限，即α(x)(c # 0),limCβ(x)则称α(x）和β(x）为同阶无穷小若 c=1，则称α（x）和β(x）为等价无穷小量，并记为α(x）～β(x）(x→x 或x—→ 8)
第二模块 函数、极限、连续 第七节 无穷小量的比较 定义 设 ( x ) 和 b ( x) 为( x → x0 或 x → ) 两 个无穷小量. 若它们的比有非零极限， c x x = ( ) ( ) lim b (c 0)， 若 c = 1，则称 ( x ) 和 b (x ) 为等价无穷小量， 则称 (x )和 b (x) 为同阶无穷小. 并记为 ( x ) ~ b ( x )， ( x → x0 或 x → ) . 即
第二模块函数、极限、连续多2-7无穷小量的比较例如，在x→0时sinx和5x都是无穷小量应用数学且sinxlim5x-→05x所以当x一→0时，sinx和5x是同阶无穷小量又如， 因为在x →0 时，x， sinx，tan x，1一cosx，ln(1+x)等都是无穷小量
例如，在 x → 0 时 sin x 和 5 x 都是无穷小量， 且 . 5 1 5 sin lim 0 = → x x x 所以当 x → 0 时，sin x 和 5 x 是同阶无穷小量 . 又如，因为在 x → 0 时， x ，sin x，tan x， 1 - cos x，ln(1 + x) 等都是无穷小量
第二模块函数、极限、连续多27无小量的比较并且应用数学tanxsinxlim=1,lim1.二x-→0xx-→>0xIn(1 + x)-cosx=1.limlim=1,1x-→0x→>0x2所以，当x→o时，x与sinx，x与tan x，x2与（1-cosx)，x与In(1+x）都是等价无穷小量，22即 x~sin x,x~tanx,1-cosx~, In(1 +x) ~ x.2
1, sin lim 0 = → x x x 1, tan lim 0 = → x x x 1, 2 1 1 cos lim 2 0 = − → x x x 1. ln(1 ) lim 0 = + → x x x 所以，当 x → 0 时，x 与 sin x， x 与 tan x， 2 (1 cos ), 都是等价无穷小量， 1 2 x 与 − x x ~ sin x，x ~ tan x， , ln(1 + x) ~ x. 2 1 cos ~ 2 x 即 − x x 与 ln(1 + x ) 并且
第二模块函数、极限、连续多27无穷小量的比较定义设α(x)和β(x）为x一x（或x一8）时的无穷小它们的比的极限为零，即应用数学α(x)-0limaβ(x)则称当x→x（或x→80)时，α(x）是β(x）的高阶无穷小量，或称β(x）是α(x）的低阶无穷小量，记为α(x）=0(B(x）)例如，x2，sinx都是x一→0时的无穷小量，且x?=0，limx-0 sinx所以，当x一0 时，x是 sinx的高阶无穷小量即 x2= o(sin x)
定义 设 ( x ) 和 b (x ) 为 x → x0 (或 x → ) 时的无穷小量， 0 ( ) ( ) lim = x x b 则称当 x → x0 (或 x → )时，( x ) 是 b ( x ) 的高 阶无穷小量， 例如， x 2 , sin x 都是 x → 0 时的无穷小量, 且 0， sin lim 2 0 = → x x x 所以，当 x →0 时， x 2 是 sin x 的高阶无穷小量， 即 x 2 = o(sin x). 或称 b ( x ) 是 ( x ) 的低阶无穷小 量，记为 ( x ) = o (b ( x )). 若它们的比的极限为零，即
第二模块函数、极限、连续827无小量的比较应用数学定理1 设α(x)～αi(x), β(x)～βi(x),α(x)α,(x)存在（或无穷大量)，则 lim且 limβ,(x)β(x)也存在或（无穷大量），并且α(x)ai(x)α(x)福= lim或limlim=8β(x)β(x)β(x)
定理 1 设 ( x ) ~ 1 ( x)，b ( x ) ~ b 1 ( x)， ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 1 1 x x x x b b = . ( ) ( ) lim = x x b 或 ( ) ( ) lim 1 1 x x b 且 存在(或无穷大量)， ( ) ( ) lim x x b 则 也存在或(无穷大量)，并且