第九章第七节方向导数与梯度一、方向导数二、梯度及其物理意义目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第七节 一、方向导数 二、梯度及其物理意义 方向导数与梯度
一、方向导数讨论函数z=fxy在一点P沿某一方向的变化率问题设函数z=f(x,J)在点 P(xo,Jo)的某一邻域U(P）内有定义，自点P引射线l.D设的方向角分别为α，β即e, = (cosα,cos β)是与同方向的单位向量OPAx0并设 P(x+Ax,y+Ay)x为l上的另一点且PEU(P)0则若令PPp,则Ax=pcosα,Ay=pcosβ目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 讨论函数 在一点 沿某一方 向的变化率问题． z = f (x, y) 000 0 0 ( , ) ( , ) ( ) z f x y P x y U P P l 设函数 在点 的 = 某一邻域 内有定义，自点 引射线 ． 0 0 0 ( , ) ( ). P x x y y l P U P + + 并设 为 上的另一点且 o y x l • P x y • • P0 P0 一、方向导数 , (cos ,cos ) l l e l = 设 的方向角分别为 ， 即 是与 同方向的单位向量。 0 则若令 则 | | , cos , cos . P P x y = = =
兰(p=|PP),如当 P沿着 [趋于P时,考虑Df(xo+Ar,yo +Ay)-f(xo,yo)limP-0福存在,称此极限为函数f(xy）在点P.沿方向的方向导数aff(xo+Ax,Jo+Ay)-f(xo,Jo)记为=limal-0C(xoo)这里△x=pcosα,Ay= pcos β目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 如当 P 沿着 l 趋于 P0 时， 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim f x x y y f x y → + + − 0 ( ), z PP 考虑 = 存在, 称此极限为函数 f(x,y) 在点 P0 沿方向 l 的方向导数. ( 0 0 ) 0 0 0 0 0 , ( , ) ( , ) lim . x y f f x x y y f x y l → + + − = 记为 这里 = = x y cos , cos
则函数在点P若函数f(x,y)在P存在偏导数，12(1)沿着x轴正向é={1,0)（α=0,β=）、轴正向é ={0,1}的方向导数分别为fx,f,;(2)沿着x轴负向、轴负向的方向导数是 一fx,-f,反之不然。讨论函数z=f(x,y)=x+在（0,0点处的偏导数是否存在？方向导数是否存在？目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (1)沿 着 x 轴正向 {1,0} e1 = （ 0, 2 = = ）、 y 轴 正向 {0,1} e2 = 的方向导数分别为 x y f , f ； (2)沿着x轴负向、 y轴负向的方向导数是 x y − f ,− f . 若函数 在 存在偏导数，则函数在点 f x y P P ( , ) 讨论函数 2 2 z = f (x, y) = x + y 在(0,0)点处 的偏导数是否存在？方向导数是否存在？ 反之不然
推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数u=f(x,y,z)，它在空间一点P(xy,z)沿着方向l的方向导数，可定义为aff(x+Ax,y+Ay,z+ Az)-f(x,y,z)limalp-0O( 其中p=/(Ax) +(Ay)2 +(△z)2)设方向l的方向角为α，β，Ax=pcosα,Az=pcosyAy = pcos β,目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 对于三元函数 u = f (x, y,z)，它在空间一点 P(x, y,z)沿着方向l的方向导数 ，可定义为 , ( , , ) ( , , ) lim 0 f x x y y z z f x y z l f + + + − = → 推广可得三元函数方向导数的定义 （ 其中 2 2 2 = (x) + (y) + (z) ） 设方向l的方向角为, , x = cos, y = cos , z = cos