第二章第二节函数的求导法则四则运算求导法则/一二、反函数的求导法则三复合函数求导法则四、初等函数的求导问题HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 第二节 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则 函数的求导法则 第二章
解决求导问题的思路：f(x+△x)-f(x)f (x)= lim（构造性定义）Ax4x-0本节内容求导法则(C)= 0(sinx)=COSX证明中利用了其他基本初等两个重要极限(lnx)=函数求导公式X初等函数求导问题HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 解决求导问题的思路: f ' ( x)= lim Δx→0 f ( x+Δx)− f ( x) Δx ( 构造性定义 ) 求导法则 其他基本初等 函数求导公式 0 cos x 1 x ( C ) ' = ( sin x ) ' = ( ln x ) ' = 证明中利用了 两个重要极限 初等函数求导问题 本节内容
四则运算求导法则一、定理1.函数 U=u(x)及 V=V(×)都在点 x可导u(x）及 v(×的和、差、积、商（除分母且为 0的点外）都在点x可导(1) [u(x)±V(x)=u(x)±(x)(2)u(xv(x=u (x) v(x)+u(x)v (x)u(x)v(x)-u(x)v(x)X(3) [(v(x)#0)(x)X并同时给出相应的推论和下面分三部分加以证明例题HIGHER EDUCATIONPRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则 定理1. 的和、差、积、商 (除分母 为 0的点外) 都在点 x 可导, 且 下面分三部分加以证明, 并同时给出相应的推论和 例题 . 函数 u= u( x) 及 v= v( x) 都在点 x 可导 u( x) 及 v( x) (1) [u( x)±v( x)] ' = u ' ( x)±v ' ( x) (2) [u( x)v( x)] ' = u ' ( x)v( x)+u( x)v ' ( x) (3) [ u( x) v( x) ] ′ = u ' ( x)v( x)− u( x)v ' ( x) v 2 ( x) ( v( x) ≠ 0 )
(（u=±）则证:设f(x)=u(x)± v(x)，f(x+h)-f(x)f(x)= limhh0[u(x+h)± v(x+h)-Iu(x)± v(x))Iimhh-0u(x+h)=lu(x)v(x+h)- v(x)lim±limhhh=-0h-0=u(x±Vx)故结论成立此法则可推广到任意有限项的情形例如，u+v-w)=u+v-WHIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 此法则可推广到任意有限项的情形. 证: 设 则 (1) (u v) = u v 故结论成立. 例如, f ( x)= u( x)±v( x) , f ' ( x)= lim h→0 f ( x+h)− f ( x) h = lim h→0 [u( x+h)±v( x+h)]− [u( x)±v( x)] h = lim h→0 u( x+h)− u( x) h ±lim h→0 v( x+h)− v( x) h = u ' ( x)±v ' ( x) (u+v− w) ' = u ' +v ' − w
(2) (uv)= u v+uv则有证：设 f(x)= u(x)V(x),f(x+h)-f(x)u(xth)v(x+h)=u(x)v(xf (x)=imimhhh-h-0u(xth)u(x)VCXv(x+h)x=limv(x+h)+hhh-0故结论成立=u(x)V(x)Fu(x)V(x)推论：1）（u）=Cu（C为常数2) ()=uwwuvw+w()3)（loga×）=xlnaHIGHER EDUCATION PRESS目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 (2) (uv) ' = u ' v+uv ' 证: 设 f ( x)= u( x)v( x) , 则有 f ' ( x)= lim h→0 f ( x+h)− f ( x) h = lim h→0 u( x+h)v( x+h) − u( x)v( x) h = u 故结论成立. ' ( x)v( x)+u( x)v ' ( x) = lim h→0 [ u( x+h)− h u( x) v( x+h) + − v( x) h u( x) ] v( x+h) 推论: 1) ( C u ) ' = 2) ( uvw ) ' = C u ' u ' vw+uv ' w+uvw ' 3) ( loga x ) ' = ( ln x ln a ) ′ = 1 xln a ( C为常数 )