第二章内容导航第一节导数的概念及基本求导公式第二节导数的计算法则第三节微分的概念与应用第四节微分中值定理及其应用第五节泰勒中值定理第六节函数的性态与图形第七节导数的实际应用
1 第二章 一元函数微分学及其应用 第二章 内容导航 第二节 导数的计算法则 第三节 微分的概念与应用 第四节 微分中值定理及其应用 第五节 泰勒中值定理 第六节 函数的性态与图形 第七节 导数的实际应用 第一节 导数的概念及基本求导公式
课前导读我们首先来看几个函数的图像OXoX00xoXo图2-3图2-2图2-1大家会发现，在x三x。处它们都是连续的但是前两个函数的图和后一个函数的图像相比，x=x。处有“角点或“尖点”出现（见图2-1、图2-2），破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说X=X处比较"光滑"（见图2-3）
课 前 导 读 我们首先来看几个函数的图像. 2 x 0 O x y x 0 O x y x 0 O x y 图 2-1 图 2-2 图 2-3 大家会发现，在 x x = 0 处它们都是连续的， 但是前两个函数的图 和后一个函数的图像相比， x x = 0 处有“角点”或“尖点”出现（见 图2-1、图2-2），破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说 处比较“光滑”（见图2-3） . 0 x x =
课前导读那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢？这就是这一章要研究的内容前面两个函数在x=x。处“导数”不存在，即不可导，而第三个函数在x=x处是“可导”的>人
课 前 导 读 3 前面两个函数在 x x = 0 处“导数”不存在，即不可导， 而第三个函数在 处是“可导”的. 0 x x = 那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢? 这就是这一章要研 究的内容
一、割线与切线第二章一元函数微分学及其应用在中学数学中，圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线”（见图2-4）2+12=11V=X图2-4但对于一般曲线，这样定义是不合适的。例如，直线x=1与抛物线y=x只有一个交点（见图2-xx=105），但显然不是实际意义下的切线图2-5下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义0004
4 一、 割线与切线 第二章 一元函数微分学及其应用 在中学数学中， 圆的切线可以定义为 “与圆只有一个交点的直线” （见图2-4）. y O y O x 图 2-4 图 2-5 但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如， 直线 与抛物线 只有一个交点（见图2- 5）， 但显然不是实际意义下的切线. x =1 2 y x = 2 y x = x =1 x 2 +y 2 =1 x 下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义
一、割线与切线第二章一元函数微分学及其应用设曲线C：=(x），EI,在曲线C上取点M(xo,）及点N(x,J）连接MN，则MN为过点M的割线，割线的倾角为?（见图2-6）则割线MN的斜率为yy=f(x)tan p= -o=_ f(x)-f(x)x-XoX-XoAMAxxoxxo图2-6导数的几何意义00
5 一、 割线与切线 第二章 一元函数微分学及其应用 设曲线 : ， ，在曲线 上取点 及点 ， 连接 ， 则 为过点 的割线， 割线的倾角为 （见图2-6）. C y f x = ( ) x I C M x y ( 0 0 , ) N x y ( , ) MN MN M 0 0 0 0 ( ) ( ) tan y y f x f x x x x x − − = = − − 则割线 MN 的斜率为 y O x C M N y f x = ( ) 0 x x Δy Δx 图 2-6 导数的几何意义