第九章第九节多元函数的泰勒公式多元函数泰勒公式一、目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 *第九节 一、多元函数泰勒公式 多元函数的泰勒公式 第九章
一、二元函数的泰勒(Taylor)公式一元函数f(x）的泰勒公式(x0 + h) = f(x0) + f(x0)h+ I"(x0)2!r(n+1)n1) (xo + 0x)XOhn+1nh+(n + I)!n!(0<0<1)推广多元函数泰勒公式目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 一、二元函数的泰勒(Taylor)公式 一元函数 f (x) 的泰勒公式: + + = + + 0 2 0 0 0 2! ( ) ( ) ( ) ( ) h f x f x h f x f x h n n h n f x ! ( ) 0 ( ) + (0 1) 推广 多元函数泰勒公式
记号（设下面涉及的偏导数连续）aa(h+k)f(xo, yo)表示 h fx(xo, yo)+ k f,(xo, o)中oxaya) f(xo, o)表示(h+koxoyh? fxx(xo, yo)+2hk fxy(xo, yo)+ k? fyy(xo, yo)a·一般地，f(xo, o)表示+k(hoxoyma"fhPkm-pEcmmOxPaym-p (xo, yo)p=0目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 记号 (设下面涉及的偏导数连续): ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h + ( ) ( , ) 0 0 2 f x y y k x h + ( ) ( , ) 0 0 f x y y k x h m + ( , ) ( , ) 0 0 0 0 h f x y k f x y 表示 x + y ( , ) 2 ( , ) ( , ) 0 0 2 0 0 0 0 2 h f x y hk f x y k f x y x x + x y + y y ( , ) C 0 0 0 x y x y f h k p m p m p m p m p p m − − = • 一般地, 表示 表示
定理1. 设z=f(x,y)在点(xo,yo)的某一邻域内有直到n ＋1 阶连续偏导数，（xo＋h,yo ＋k)为此邻域内任一点，则有f(xo + h, Jo + k) = f(xo, yo)+(h+k)f(xo, yo)+(h+) f(x, ).+(h录+k)" f(xo, yo) +R,10其中 R,=(m1)(h景+k)n+ (xo + h. yo+0k)0O(0<0<1)①称为f在点(xoyo）的n阶泰勒公式②称为其拉格朗日型余项目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 定理1. ( , ) ( , ) 0 0 设 z = f x y 在点 x y 的某一邻域内有直 到 n + 1 阶连续偏导数 , ( , ) 0 0 x + h y + k 为此邻域内任 一点, 则有 ( , ) ( , ) 0 0 0 0 f x + h y + k = f x y ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y + + + 2 1 ! (h x + k y ) 2 f (x0 , y0 ) + ( ) ( , ) ! 0 0 1 h k f x y n n x y + + ( ) ( , ) 0 0 1 ( 1)! 1 R h k f x h y k n n n x y = + + + + + (0 1) + Rn 其中 ① ② ① 称为f 在点(x0 , y0 )的 n 阶泰勒公式, ②称为其拉格 朗日型余项
证: 令 (t)= f(xo +th,yo +tk) (O≤t≤l)p(O) = f(xo, yo), p(1)= f(xo + h, yo +k)则利用多元复合函数求导法则可得p'(t) = hfx(xo + ht, yo + kt)+ k f,(xo + ht, yo + kt)→ (0)=(h+)(x0, o)β"(t) = h- fxx(xo + ht, Yo + kt)+2hk fxy(xo + ht, yo + kt)+ k? fyy(xo + ht, yo + kt)= @"(0) =(h+k) f(xo, yo)目录上页下页返回结束
目录 上页 下页 返回 结束 证: 令 ( ) ( , ) (0 1), t = f x0 + th y0 + tk t 则 (0) ( , ), (1) ( , ) 0 0 0 0 = f x y = f x + h y + k 利用多元复合函数求导法则可得: ( ) ( , ) ( , ) 0 0 0 0 t h f x ht y kt k f x ht y kt = x + + + y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 h k f x y x y = + ( ) ( , ) 0 0 2 t h f x ht y kt = x x + + 2 ( , ) 0 0 hk f x ht y kt + x y + + ( , ) 0 0 2 k f x ht y kt + y y + + (0) ( ) ( , ) 0 0 2 h k f x y x y = +