第八章内容导航第一节常数项级数的概念与性质第二节常数项级数的审敛准则第三节幂级数的收敛及函数的展开式第四节傅里叶级数
1 第八章 无穷级数 第八章 内容导航 第二节 常数项级数的审敛准则 第三节 幂级数的收敛及函数的展开式 第四节 傅里叶级数 第一节 常数项级数的概念与性质
课前导读无穷级数是逼近理论中的重要内容之一，也是微积分学的重要组成部分，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种极为有用的数学工具本章将分别讨论常数项级数和函数项级数，前者是后者的基础.在函数项级数中，将分别讨论幂级数和傅单叶级数.这两类技术在科学技术中有着非常广泛的应用
课 前 导 读 2 无穷级数是逼近理论中的重要内容之一,也是微积分学的重要 组成部分,它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一 种极为有用的数学工具. 本章将分别讨论常数项级数和函数项级数，前者是后者的基 础.在函数项级数中，将分别讨论幂级数和傅里叶级数.这两类技术 在科学技术中有着非常广泛的应用
课前导读我们先来计算几个和式：1+2=3;1+2+3=6:1+2+3+4=10;n(n+ 1)1+2+3+4+..+n222222我们很容易得到n项求和的结果，那么如果“无限项”相加会是什么样的结果呢？
课 前 导 读 3 我们先来计算几个和式： 1 2 3 + = ； 1 2 3 6 ++= ；1 2 3 4 10 + + + = ； 1 3 1 2 2 + = ； 2 1 1 7 1 2 2 4 + + = ； 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 1 2 n n − + + + + = ； 我们很容易得到 n 项求和的结果，那么如果“无限项”相加会是 什么样的结果呢？ ( 1) 1 2 3 4 2 n n n + + + + + + = ；
课前导读1+2+3+4+...+n+...=2我们可以把n项和取极限，作为无穷多项相加的和，则可以得到：n(n+1)1+2+3+4+...+n+...=lim802n>0022lim12″n→o02第一个极限不存在，因此“和不存在；第二个极限存在，因此“和”为2.这就是这一节我们要研究的无限项和的问题，即级数的收敛问题D
课 前 导 读 4 1 2 3 4 ? + + + + + + = n 2 1 1 1 1 ? 2 2 2n + + + + + = 我们可以把n项和取极限，作为无穷多项相加的和，则可以得到： ( 1) 1 2 3 4 lim n 2 n n n → + + + + + + + = = ； 2 1 1 1 1 1 1 2 1 lim 2 2 2 2 1 2 n n n→ − + + + + + = = . 第一个极限不存在，因此“和”不存在；第二个极限存在，因此“和” 为 2. 这就是这一节我们要研究的无限项和的问题，即级数的收敛问题
一、常数项级数的概念第八章无穷级数人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程.在这种认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题我们门来看一个例子，计算半径为R的圆面积，先计算内接正六边形面积αi，再以这正六边形的每边为底，分别作一个R顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个等腰三角形面积之和αz，则a,+α,就是正12边形的面积（见图8-1），图8-15?
5 第八章 无穷级数 人们认识事物在数量方面的特性，往往有一个由近似到精确的过程.在这种 认识过程中，会遇到由有限个数量相加到无穷多个数量相加的问题. 我们来看一个例子，计算半径为 R 的 圆面积 c，先计算内接正六边形面积 1 a ， 再以这正六边形的每边为底，分别作一个 顶点在圆周上的等腰三角形，算出这六个 等腰三角形面积之和 2 a ，则 1 2 a a + 就是正 12边形的面积（见图 8-1）， 一､常数项级数的概念 图 8-1 ▲▲▲ R