第十二章习题课级数的收敛、不求和与展开一、数项级数的审敛法二、求幂级数收敛域的方法三、幂级数和函数的求法四、函数的幂级数和傅式级数展开法
习题课 级数的收敛、求和与展开 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和傅式级数 展开法 一、数项级数的审敛法 二、求幂级数收敛域的方法 第十二章
Wi求和u,(x)S(×)（在收敛域内进行）展开当 X= Xo 日时为数项级数Wiun(x)当 un(x)=anx时为幂级数；当un(x)=a,cosnx+bsinnx(an,bn为傅氏系数）时为傅里叶级数基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开
∑ n= 0 ∞ un ( x) 求和 S( x) 展开 (在收敛域内进行) ∑ n= 0 ∞ un ( x) 基本问题：判别敛散； 求收敛域； 求和函数； 级数展开. 为傅里叶级数. 当 un ( x)= an cosnx+bn sinnx 为傅氏系数) 时 , 当 时为数项级数; x= x0 当 un ( x)= an x n 时为幂级数; (an , bn
数项级数的审敛法一、娄1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.正项级数审敛法发散必要条件limu.=o不满足ny0o满足Un+1比值审敛法1im部分和极限Unn-1000=1比较审敛法不定用它法判别RU=根值审敛法1imC积分审敛法00n-P<1p>1收敛发散
一、数项级数的审敛法 1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性 2. 正项级数审敛法 必要条件 lim n→∞ un = 0 不满足 发 散 满足 比值审敛法 lim n→∞ un+1 un = ρ 根值审敛法 lim n→∞ n √un = ρ ρ<1 收 敛 发 散 ρ= 1 不定 比较审敛法 用它法判别 积分审敛法 部分和极限 ρ>1
3.任意项级数审敛法80un为收敛级数概念：n=0000WMIurun若称收敛，绝对收敛nn=1MIU00若发散，称U条件收敛福=1n=1若u≥un+1>0，且limu,=0Leibniz审敛法：n-0000 (- 1)"unIrJ≤ Un+1 .收敛，且余项则交错级数n=1
3. 任意项级数审敛法 ∑ 为收敛级数 n= 1 ∞ un Leibniz审敛法: 若 un ≥ un+1 >0 , 且 lim n→∞ un = 0 , 则交错级数 ∑ n= 1 ∞ (− 1) n un 收敛 , 概念: 且余项 |r n |≤ un+1 . ∑ n= 1 ∞ | un 若 | 收敛 , ∑ n= 1 ∞ u 称 n 绝对收敛 ∑ n= 1 ∞ | un 若 | 发散 , ∑ n= 1 ∞ u 称 n 条件收敛
Dirichlet判别法设[an},{bn}是两个数列，S,=a, +a, +.….+a,如果它们满足：（1）a,的部分和数列S,有界；（2）(b是单调数列，且lim_b=0;n>n8则a,b,收敛1=1阿贝尔（Abel）判别法设iab,是两个实数列，满足下列条件(1）a,收敛，（2){b,}单调有界;Z则a,b,收敛
Dirichlet判别法 如果它们满足： （1） { } { } n n a S 的部分和数列 有界； （2） { } lim = 0; → n b n b n 是单调数列，且 1 2 , 设 {an },{bn }是两个数列, S a a a n n = + + + 1 . n n n a b = 则 收敛 阿贝尔（Ａbel）判别法 { }{ } n n 设 a b 是两个实数列，满足下列条件 . n n 则a b 收敛 { } ; n （1） an收敛， （2） b 单调有界