第三章内容导航第一节微分方程的概念第二节一阶微分方程第三节二阶微分方程第四节微分方程的实际案例
1 第四章 微分方程 第三章 内容导航 第二节 一阶微分方程 第三节 二阶微分方程 第四节 微分方程的实际案例 第一节 微分方程的概念
课前导读微积分研究的对象是函数关系，但在实际问题中，往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，而比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系，从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，即微分方程，通过求解这种方程，同样可以找到指定未知量之间的函数关系：比如，已知y=cos2x，由不定积分的计算很容易知道V的表达式y=cos2xdx=sin2x+C2但是如果已知y+y=cos2x，仅仅是求原函数的公式是不够的，它需要利用微分方程自己已的一些方法和技巧才能得到y的表达式
课 前 导 读 2 微积分研究的对象是函数关系, 但在实际问题中, 往往很难直接得到所研究 的变量之间的函数关系, 而比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间 的联系, 从而得到一个关于未知函数的导数或微分的方程, 即微分方程. 通过求 解这种方程, 同样可以找到指定未知量之间的函数关系. 比如, 已知 y x ' cos 2 = , 由不定积分的计算很容易知道 y 的表达式: 1 cos 2 d sin 2 2 y x x x C = = + 但是如果已知 y y x ' cos 2 + = , 仅仅是求原函数的公式是不够的, 它需要利用 微分方程自己的一些方法和技巧才能得到 y 的表达式
一、微分方程的引例第四章微分方程在初等数学中，含有未知量的等式称为方程，它表达了未知量所必须满足的4x2某种条件，比如一元二次方程ax2+bx+c=0，分式方程x+21-xI+x角方程sin3x-3cos2x-tan2x+1=0，而我们现在要介绍的是含有未知函数的导数的方程，例如y'+ytanx=cosx,4xdy.dxy(x-3)y"-3y'+2y=e3x下面通过几个具体的例子来说明微分方程的基本概念
3 第四章 微分方程 在初等数学中, 含有未知量的等式称为方程, 它表达了未知量所必须满足的 某种条件, 比如一元二次方程 2 ax bx c + + = 0 , 分式方程 2 1 4 2 1 1 2 x x x x + = + − + , 三 角方程 2 sin 3 3cos 2 tan 1 0 x x x − − + = , 而我们现在要介绍的是含有未知函数的导 数的方程, 例如 y y x x ' tan cos + = , d 4 d ( 3) y x x y x = − , 3 '' 3 ' 2 e x y y y − + = , 下面通过几个具体的例子来说明微分方程的基本概念. 一､微分方程的引例
第四章微分方程例1一曲线通过点(1,2)(见图4-1)，且在该曲线上任一点M(x.v)处的切线的斜率为2x求该曲线的方程解：设所求曲线的方程为y=(x），根据2导数的几何意义，可知未知函数y=y(x)应满足一阶微分方程的概念A关系式=2x.(称为一阶微分方程)(1)dx图4-1此外，未知函数y=(x)还应满足下列条件x=1时，J=2，简记为yl=)=2.（称为初始条件
4 第四章 微分方程 例 1 一曲线通过点(1, 2) (见图 4-1), 且在该 曲线上任一点 M x y ( , ) 处的切线的斜率为 2x , 求该曲线的方程 一阶微分方程的概念 y 3 2 1 (1,2) O x 图4-1 解： 设所求曲线的方程为 y y x = ( )，根据 导数的几何意义，可知未知函数 y y x = ( )应满足 关系式 d 2 d y x x = (称为一阶微分方程) (1) 此外, 未知函数 y y x = ( )还应满足下列条件: x =1时, y = 2 , 简记为 1 | 2 x y = = (称为初始条件) (2)
第四章微分方程例1一曲线通过点(1,2)(见图4-1)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x，求该曲线的方程把(1)式两端积分，得y=「2xdx，即y=x2+C. (称为微分方程的通解)(3)其中C是任意常数把条件x=1时y=2"代入(3)式，得2=12 +C,由此定出C=1.把C=1代入(3)式，得所求曲线方程y=x2+1.（称为微分方程满足初始条件yl==2的特解ROOC5
5 第四章 微分方程 把(1)式两端积分, 得 y x x = 2 d , 即 2 y x C = + (称为微分方程的通解) (3) 其中C 是任意常数 把条件“ x =1时 y = 2 ”代入(3)式, 得 2 2 1 = +C , 由此定出C =1. 把C =1代入(3)式, 得所求曲线方程 2 y x = +1. (称为微分方程满足初始条件 1 | 2 x y = = 的特解) 例 1 一曲线通过点(1, 2) (见图 4-1), 且在该曲线上任一点M x y ( , ) 处的切线的斜率 为2x , 求该曲线的方程