第三章内容导航第一节不定积分的概念与性质第二节不定积分的换元法与分部法第三节有理函数的不定积分第四节定积分的概念与性质第五节微积分基本定理第六节定积分的换元法和分部法第七节定积分的换元法和分部法第八节反常积分
1 第三章 一元函数积分学及其应用 第三章 内容导航 第二节 不定积分的换元法与分部法 第三节 有理函数的不定积分 第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的换元法和分部法 第八节 反常积分 第一节 不定积分的概念与性质
课前导读上一章介绍了导数的概念，例如，已知函数v=sin2x，求其导函数，即y'=(sin2x)'=2cos2x.现在我们来做一件相反的事情：已知某个函数的导函数是cos2x，即）=cos2x，问：这个函数是什么？利用导数公式可以猜到，这个函数可以是y==sin2x，也可以是2y==sin2x+1，答案并不唯一?这种已知函数的导数或微分，求该函数的运算称为“积分”运算．本节将介绍不定积分的概念及其计算方法
课 前 导 读 2 上一章介绍了导数的概念, 例如, 已知函数 y x = sin 2 , 求其导函数, 即 y x x ' sin 2 ' 2cos2 = = ( ) . 现在我们来做一件相反的事情: 已知某个函数的导函数是cos2x , 即 ( )' cos2 = x , 问: 这个函数是什么? 利用导数公式可以猜到, 这个函数可以是 1 sin 2 2 y x = , 也可以是 1 sin 2 1 2 y x = + , 答案并不唯一. 这种已知函数的导数或微分, 求该函数的运算称为“积分”运算. 本 节将介绍不定积分的概念及其计算方法
原函数第三章一元函数积分学及其应用定义1已知f（x）是定义在某区间I内的函数，若存在函数F（x），使得F(x)=f(x)或者dF(x)=f(x)dx, xeI,则称F(x）为区间1上f(x）的原函数可以证明，若函数f(x）在某区间上连续，则在该区间上f(x）的原函数一定存在，即在区间I上存在可导函数F(x），使F(x)=f(x)xEI.也就是说，连续函数一定有原函数3
3 第三章 一元函数积分学及其应用 定义1 F(x) = f (x)或者dF(x) = f (x)dx , xI , 则称 F(x)为区间 I 上 f (x)的原函数. 一、原函数 已知 f x( )是定义在某区间 I 内的函数, 若存在函数 F x( ) , 使得 可以证明, 若函数 f x( ) 在某区间上连续, 则在该区间上 f x( ) 的原函数一定 存 在, 即在区间 I 上存在可导函数 F(x), 使 F(x) = f (x), x I . 也就是说, 连 续 函数一定有原函数
原函数第三章一元函数积分学及其应用一另外，若F(x）为f(x）的一个原函数，因(F(x)+C)=f(x）（C为任意常数)故F(x)+C也为,f(x)的原函数由于C的任意性，故f(x)有无穷多个原函数假设F(x)和G(x)都是f(x)在区间I上的原函数，因为G(x)=F(x)+C，故由拉格朗日中值定理的推论可知，G(x)和F(x)只相差一个常数，即G(x) = F(x)+C .因此，若F(x）为f(x）的一个原函数，则f(x）的全部原函数可以表示为F(x）+C(C为任意常数）4
4 第三章 一元函数积分学及其应用 另外, 若 F x( )为 f x( ) 的一个原函数, 因 ( ( ) ) ( ) F x C f x + = (C 为任意常数). 故 F x C ( ) + 也为 f x( ) 的原函数. 由于C 的任意性, 故 f x( ) 有无穷多个原函 数. 假设 F x( )和G x( )都是 f x( ) 在区间 I 上的原函数, 因为G x F x C ( ) ( ) = + , 故 由拉格朗日中值定理的推论可知, G x( )和 F x( )只相差一个常数, 即 因此, 若 F x( )为 f x( ) 的一个原函数, 则 f x( ) 的全部原函数可以表示为 F x C ( ) + (C 为任意常数). 一、原函数 G x F x C ( ) ( ) = +
二、不定积分第三章一元函数积分学及其应用定义2在区间I上，函数f(x）的带有任意常数项的原函数称为f(x)）在区间I上的不定积分，记作「(x)dx，即不定积分的概念[ f(x)dx = F(x)+C.其中，符号「称为积分号，称f(x）为被积函数，（x）dx称为被积表达式，x称为积分变量，F(x）是f(x）的一个原函数5
5 第三章 一元函数积分学及其应用 定义2 f (x) x = F(x) + C d . 其 中, 符 号 称 为积分号, 称 f (x)为被积函数, f x x ( )d 称 为被积表达 式, x称为积分变量, F(x)是 f (x)的一个原函数. 不定积分的概念 二、不定积分 在区间 I 上, 函 数 f x( ) 的带有任意常数项的原函数称 为 f x( ) 在区间 I 上的不定积分, 记作 f (x)dx , 即