第一章基础知识设H1=Im(H→&F→F),H2=Ker(H→Hi),我们有正合列交换图正合列交换图000Hi0H20H0:-0-&DFF&不失一般性，我们可以假设rkH1,rkH2>0（否则μ(H)=μ(H)<μ()=μ(F))若rkHi=rkF,则由命题1.2.8即得μ(H1)≤μ(F).若rkHi<rkF,则由F的半稳定性也有μ(H1)≤μ(F).同理μ(H2)≤μ(8).结合例1.2.14,我们得到μ(H) ≤max(μ(Hi),μ(H2)) ≤max[μ(8),μ(F)) = μ(8).-因此&④F是半稳定的命题1.2.12其实只是如下结论的特殊情形，其证明思路与大致相仿.我们留给读者验证.命题1.2.13设0F8H0是无挠层的正合列，且μ(8)=μ(F)=μ(H)，那么F不可能稳定的，并且以下条件彼此等价：(1)8是半稳定的，(2)F和H是半稳定的特别地，如果FH都是线丛，则&必是严格半稳定的例1.2.16（直线上的半稳定向量丛）考虑Pl上的秩r局部自由层ε=Opi(a1)④·④Opr(ar).如果&是半稳定的，那么由于Opi(ai）是的子层，从而ai≤μ()=(;ai).由此可推出a1=.=ar.反过来，假设ε=Op1(a)r（不妨设r>1).我们考虑它的子层F(0<rkF<rk8).由Grothendieck分裂定理（见定理6.4.1)，F=Op(bi）④..Op(bs）(b1≥·..≥bs).若bi>a,则1 ≤ h(F(-b1) ≤ h(8(-b1)) = rh(Op (a- b1)) = 0矛盾！故bi≤a.因此μ(F) ≤bi≤a=μ(8)这就证明了ε是半稳定的.另外请注意，当r1时，ε不可能是稳定的.4下面我们要研究半稳定层之间的态射.这里先准备一个引理。命题1.2.14设Φ：F-→8是半稳定无挠层的非零态射，并且μ(F)=μ().如果8,F至少有一个是稳定的，则要么β是单射，要么rkImp=rk8.进一步，若它们都是稳定的，则必是单射；并且若还满足以下条件之一，那么也是同构，- 25-
第一章基础知识(1)8,F是向量丛,(2) 8 = F.证明设H=Imp.因非零，故rkH>0.我们首先说明，rkH<min(rkF,rk&)是不可能的.若不然，μ(H)≤μ(E)=μ(F)<μ(H) 若F稳定,μ(H)<μ()=μ(F)≤μ(H)若&稳定都得到矛盾！因此要么rkH=rkF（即是单的)，要么rkH=rkε进一步，假设8,F都是稳定的．此时推出rkHrkF，即是单的进一步还可得到rkH=rk&,μ(H)=μ().因此若&,F是向量丛，则由F兰H以及上面的数值条件，即知F兰H兰8（习题1.9)，即是同构若F=8,则由命题1.2.3即得-推论1.2.2（Schur引理）稳定无挠层&必是单(Simple）的，即h(εV&）=1，亦即Hom(8,8)=(-Idl 入E C)证明由命题1.2.14,Hom(8,8)中的非零元必是同构.在ε的奇点集外取一点，茎映射：&→&是同构.不妨取的特征值入，于是-·Id不是同构，因而只能是零映射，即-0=-Id.除了Mumford稳定性之外，还有其他稳定性的定义.它们并不完全一致.下面我们将介绍Gieseker稳定性（Giesekerstability).设&是光滑射影簇上的秩r无挠层，H是丰富除子.定义规范Hilbert多项式(Normalized Hilbertpolynomial)x(8Ox(H)n).PH,e(n) := 定义1.2.7(Gieseker稳定性）如果&的任何满足0<rkF<rk&的凝聚子层F，都有PH,F(n)<PH,e(n)(相应地,PH,F(n)≤PH,(n)，对充分大的正整数n成立,我们就称&是Gieseker（半）稳定的（Giesekerstable/semistable)为书写方便，上面的不等式也常简记为PH,FPH,8（相应地，PH,F≥PH,)例1.2.17（1）设X是光滑亏格g代数曲线，rk&=r，deg&=d，则由Riemann-Roch定理得dPH,e(n) = ndeg H ++1- gr因此Gieseker（半）稳定和Mumford（半）稳定等价(2）设X是光滑射影曲面，ε是秩r向量丛.那么H2[ci(8) -HKx·H1 [2() - ci(e) · Kx - c2()]n2+x(Ox)PH.8-2r22rH2[ci(8) - HKx·Hn+X(e)n2.22T因此&是Gieseker稳定当且仅当对任何秩s凝聚子层F（O<s<r)，要么μH(F)<μH()，要么μ(F)=(E)且)<()-- 26-
第一章基础知识这里罗列部分性质命题1.2.15设ε是光滑射影簇X上的无挠层．那么(1）若&是Mumford稳定的，则也必是Gieseker稳定(2）若&是Gieseker半稳定，则也必是Mumford半稳定的.(3）（凸性质）对任何非零无挠层正合列0FFF"0,我们有min(PH.F,PH.F")≤PH.F≤max(PH,F,PH.F")(4)Gieseker稳定丛是单的1.3射影丛向量空间的射影化也可以推广到射影丛上。设元：E→X是复流形X上的秩r向量丛，过渡矩阵Φα可以视为射影空间IPr-1的线性同构。换言之，可以视为如下正合列中Φα3在p下的像=(a):(1) →C*GL(r, C) PGL(r, C) (1)Φ。3称为射影过渡矩阵.它也满足类似过渡矩阵的条件：=Td，=Td因此我们可以构造复流形P(E) =IIUα× Pr-1 / ~,a这里~是等价关系,对(aa,Ua)EUa×Pr-1,(ag,ug)Up×Pr-(r, Ua) ~ (rp, U) =αBUg.这个丛元：P(E）一X称为π：E→X在X上诱导的射影丛(Projectivebundle)在每个开集Uα上,元-1(Ua)=Uα× Pr-1.注1.3.1一般来说，Pr-1-丛未必是由向量丛诱导的射影丛.这取决于映射H(X,GL(r,Ox)（秩r向量丛同构类群）—→H((X,PGL(r,Ox))(Pr-1-丛同构类群)-是否为满射当X是紧黎曼曲面时，IPr-1-丛确实是由向量丛诱导的射影丛注1.3.2读者必须留意，在很多文献中（比如[Hart77，Laz04I]等），E的射影丛实际上是指P(EV).这主要是因为EV上有自然的环结构，因此射影丛P(E)可以理解为如下的射影概型P(E)=Projox( smE),m≥0.由于这两种定义的不同，所以很多结论都会相差一个对偶-27-
第一章基础知识进一步，可定义半纯截面3= [3: U--+ Pr-13=a83],这里诸3α是半纯映射.由正合列H(O*) → H'(X,GL(r, Ox)) H(X, PGL(r, Ox)我们有命题1.3.1(射影丛的同构判则)设元：E一X及元：E→X是两个向量丛，则以下条件彼此等价：(1) P(E) =P(E').(2）存在线丛L，使得E'=EL例1.3.1（射影丛的截面）元：P(E）→X的任何半纯截面可以由EL的某个非零全纯截面s所定义（L是某个线丛)因此单态射s：Ox→EL（例1.2.2)诱导了有理映射：X--+P(E)局部上即为g=[s] : Ua--+ Ua × Pr-1, → (r, [sa1(r), ,8ar(r)l)-3没定义的点就是s的零点例1.3.2（赘线丛和Serre线丛）对射影丛元：P(E）→X，我们有一个典范的线丛，OP(E)(-1) := (e, u) EP(E) E|u E l) C*E.Op(E)(-1)称为P(E)的资线丛(Tautological line bundle)。其对偶线丛Op(E)(1):(Op(E)(-1)称为Serre线丛.如果将赞线丛限制到纤维E：=元-1(r)兰Pr-1上，那么Op(E)(-1)[E= Opr1(-1) ≤元*E|p*-1 = IPr-1 × Er用层的语言说，这相当于给出了欧拉序列（见例1.2.3）的左端，0→Opr-1(-1) Or-1→Opr-1(-1) Tpn 0由射影丛的局部平凡性，上面的Euler序列可以整体地推广到P(E)上，即0OP(E)(-1) —元*EOP(E)(-1) TP(E)/X0)或对偶地写为0 Op(E)(1) α P(E)/x *EV OP(E)(1) 0. (1-9)这里2ip(E)/X=Tr(E)/x是相对余切丛，来自于正合列(1-10)0元*2x2P(E)P(E)/X0.我们来分析赞线丛Or(E)(-1)的转移函数.对aEUa，设(V)-,是P(E）=IPr-1上的标准坐标卡，即Vi= [1(p),..-, zr(p)]/2j 0],- 28-
第一章基础知识这里za=（zα,..，ar）是E的纤维坐标.P(E)有开覆盖(Uα×Vi)ael,1<i<那么在Uα×VinU×V,上,Op(E)(-1)的转移函数为Zailoi,j:=pj因此Or(E)(1)的转移函数是(ai,3Op(E)(1)的截面在U&×V上可局部写为s@) :=(hai(a)za1 +..+ hor(n)zar), re Ua.Zort由于Op(E)(1)的转移函数是li,j，所以ha1()zal +*+har(a)2or=hg1(a)z81 +++++hgr()zgr上式相当于给出了元*EV的截面，其中zα1，...zcr视为EV的局部基（见例1.1.12).这样，我们-有满同态元*EV→Op(E)(1).它就是正合列(1-9)的右端命题1.3.2设F是凝聚层，L是线丛，则(1) OP(EαL)(1) = OP(E)(1) 元*LV.(2)P(E）的典范除子Kp(E)=元*Kx-元*detE一r，这里e是Or(E)(1)对应的除子(3) 元OP(E) =Ox， 元(OP(E)(n)元*F)= SnEYF,(4)Rr-1元Op(E)(-r-m)=SmEdetE，并且其他高阶正像Ri元Op(E)(k)=0(i≠0,r-1或i=r-1k+r>0)证明(1)来自于例1.3.2中关于Serre线丛的转移函数的计算(2)对正合列（1-9)和（1-10)使用Whitney公式即得.(3)利用射影公式，我们只需要证明元(Op(E)(n))=SnEV由满同态元*EV→Op(E)(1)，可得满态射Sn元*EV→Op(E)(n)，从而诱导态射S"EV.→元,Op(E)(n).因此，为验证这是同构，我们只需要讨论U。上的情形.此时射影丛是平凡的由此可直接验证-(4)利用相对对偶公式及Bott公式(见定理8.1.1)注1.3.3如果用P(EV)代替P(E),那么Op(EL))(1)=Op(EV)元*L.因此当L充分大时，Or(EL))(1)是丰富的后文正是用Op(Ev)(1)来定义向量丛的丰富性(而不是OP(E)(1).例1.3.3(Cf(Ev)/x的析解）关于欧拉序列(1-9)，我们再做一些探讨。首先，利用元*E(-1)→Op(Ey)，可以构造Koszul复形（具体见例3.1.6)0 N元*EOP(E)(-) ^2元*EOP(E)(-2)→元*E&OP(EV)(-1)OP(EV) →0.对欧拉序列（1-9）取外积，并利用命题1.1.3（5）可得0APP(E)/x(p) AP元*EVP-12P(E)/x(P) 0-29-