第一章基础知识它限制在纤维上就是正合列(1-7)。再结合上面的Koszul复形，我们可以给出2(Ev)/x的自由析解+m+2元*E(-m-2)0 → ^元*E(-r) ■+^m+1元*E(-m-1)(Ev)/x—0.命题1.3.3设0≤m≤r-1,那么(1) 元(2P(EV)/x(e) = 0, l ≤m(2) 元(2P(Ev)/x(m + 1) = Am+1E.(3) Ri元+(2P(Ev)/x(0)) = 0, j >0, l >0. (4)设a是正整数，n=dimX【若=0R元 (t(a) =0.若j>0(5)xE,若j=0R元（(2P(FV)(1)0,若j>0.证明利用上述析解及射影公式，我们可以直接得到(1)(2)(3)(留给读者完成证明)下面证（4)：利用正合列0→元*2x →2P(E)) → 2P(EV)/X 0,我们可以得到2a)有一个滤过，其相邻项的商为元*2%微E)/x(a）（e+m=n+a-1,l≤n).利用(1)(2)(3)，这个滤过的分次商的高次正像层都为零，并且除了最后一项外，正像层也全都为零.这就迫使元(2p((a))=元（元*22()/x(a)=2×入E.(5)的证明类似.-命题1.3.4(Grothendieck关系）设H是Op(E)(1)的除子，则H" + 元*(ci(E) · Hr-1 ++-: +元*(cr(E)) = 0.证明因为Tp(E)/x的秩为r-1,所以Whitney公式迫使c(元*EOx(H))=0.再利用分裂原理，即得上式，-例1.3.4假设X是光滑曲线，则Hr+元*ci(E)Hr-1=0.取H=H+μ(E)元"pENI(P(E))Q(定义见下)，这里pEX，u(E)是斜率.由直接计算，(H)"=0,H'在P(E)■的每个纤维上是超平面。利用命题1.3.2,rkE.H'=-Ki(E)/x:=-(Ki(E)-元*Kx)回顾一些经典概念和结论.设Y是光滑簇(1）N"(Y）是Y上除子数值等价类张成的实空间（注：两个除子数值等价是指它们和任一曲线的相交数都相等)-30-
第一章基础知识(2）Ni(Y）是1维闭链类的数值等价类张成的实空间（注：两个1维闭链类数值等价是指它们和Ni(Y)中任一元素相交数相等).(3）NA(Y)(CN(Y))是丰富锥，即丰富除子构成的开锥（4）NA(Y）是NA(Y）的闭包，即数值有效除子张成的锥(5）NE(Y)(CNi(Y))是有效锥，即有效1维闭链类张成的锥(6)NE(Y）是NE(Y)的闭包，即和NA(Y）中元素相交数非负的1维闭链类张成的锥(7）(Kleiman丰富性判则[Kle66]）一个除子是丰富的充分必要条件是它和NE(Y)中的任何非零元的相交数为正数.今取Y=P(E),则N'(Y) = R-(-KP(E)/x)①元*N'(X), Ni(Y) = (-KP(E)/x)"-2 . N'(Y)命题1.3.5设X是光滑代数曲线，&是X上的秩r向量丛，PEX，则(1）记R>0是非负实数集合NA(IP(E)) = R≥0(-KP(E)/x) R≥0元*p当且仅当NE(P(E)) = R≥0(-KP(E)/x)"-1 R≥0(-KP(E)/x)-2元*p(2）若（-Kp(E)/x）是数值有效的，则（1)的条件成立(3)若(1)的条件成立，则P(E)上的有效除子都是数值有效的证明(1)来自于Kleiman判则.(2)任取A=(-Kp(E)/x)"-2(a(-Kp(E)/x)+b元*p) E NE(P(E). 因为(-KP(E)/x)和元*p是数值有效的，所以a=A元*p≥0,b=A(-KP(E)/x)≥0.这样,NA(P(E) = [D E N'(P(E)I D(-KP(E)/x)"-1 ≥ 0, D(-KP(E)/x)"-2元*p ≥ 0)= R≥0(-KP(E)/x) R≥0元*p.(3）设D=α(-Kp(E)/x）+b元*p是有效除子。首先我们注意到，对任何正实数t，除子Ht=（-Kp(E)/x+t元*p)都是丰富的（请读者自已验证)，因而DHI-2落在NE(P(E)中。让t→0,则D(-Kip(E)/x)-2 ENE(P(E)。由(1)的条件,这就相当于a,b≥0.利用(1)即知D-是数值有效的例1.3.5(Serre线丛的丰富性）设Φ：F→E是向量丛之间的满态射：我们可以诱导射影丛的单态射 : P(EV) P(FV).-31-
第一章基础知识此时Op(Ev)(1) = *Or(F>)(1) = OP(Fv)(1)lP(E) 因此,如果Op(Fv)(1)是P(FV)中的丰富（相应地，nef)除子，那么Op(Ev)(1)也是P(EV)中的丰富（相应地，nef)除子上面讨论可以应用到几类特殊情形.(1)直和的投影Φ：EF→E.此时P(EV)CP((EF)),OP(E)(1)OP(EF))(1)|(Ev):(2)设8=Ox(E)是由整体截面生成的（见定义2.1.1),即存在满态射Vx：=V×Ox8我们可以利用射影丛的包含关系诱导如下复合映射 : P(EV) P((Vx))) = P(VV) × X P P(V).Op(Ev)(1)=*Op(Vv)(1).因此Op(Ev)(1)是丰富除子当且仅当是有限态射.对每个点EX，我们有纤维满同态→E(α)，因而P(E(z))CP(VV).因此，OP(EV)(1)是丰富除子的充分必要条件也可以改述为：对P(VV）中的每个给定点，最多只存在有限个EX，使得P(E(α))经过该点(3)对欧拉序列作对称积，可诱导满态射Sm元*EV→Op(Ev)(m).这等价于诱导了射影丛的Veronese嵌入P(EV)P(SmEV)此时 Op(E)(m) = Or(SmEv)(1)lP(Ev)例1.3.6设f：X'→X是有限态射，E是X上的向量丛f诱导了射影丛的有限态射F：P(*EV）-→P(EV).此时OP(f-Ey)(1)=F*OP(Ev)(1)。因此若Op(Ev)(1)是丰富（相应地，nef)除子，则Orp(f-Ev)(1)是丰富的（相应地，nef).如果进一步假设于是满的，那么利用Kleiman判则可知OP(f*Ev)(1)的丰富性也蕴含了Or(Ev)(1)的丰富性，本章习题习题1.1设E是秩2向量丛，da3:为过渡矩阵(1)验证：S?E的过渡矩阵a22ab62SdaBac ad +bc bd2cdd2(2)直接验证过渡矩阵S2Φa3满足余链条件：-32-
第一章基础知识习题1.2验证命题1.1.2诸等式.（提示：验证(6)中的转换映射需要用到行列式的按多行的拉普拉斯展开.)习题1.3验证命题1.1.3中的诸正合列.习题1.4设E1,E2是向量丛，证明：Sm(EiE2)=SPEiS9E2p+q=m习题1.5设：X→Y是光滑的平坦态射，&是X上的局部自由层，证明：fF是自反的.特别地，若Y是曲线或曲面，则f.8是局部自由的.（提示：利用定理1.2.1）习题1.6设X是光滑射影代数，F是X上的凝聚层，证明：FV是无挠且正规的，因而是自反的（见定理1.2.1)（提示：对开集U及余维数至少为2的解析闭子集A，注意到O(U\A)=O(U),可将任何O(U\A)-模同态PU\A:F(U\A)→O(U\A)延拓到U上).习题1.7设,F是光滑射影簇X上的凝聚层，且8无挠，Φ：8→F是态射，Z是X中的解析闭子篆，U=X\Z.证明：如果plu是单态射，那么也是单态射(提示：Keryp的支集在Z中，但它又是无挠的，故支集为空）习题1.8设L是线丛，F是无挠层，(1）证明：任何非零态射P：L一→F都是单态射：（提示：归结到F自反，L=Ox的情形.）(2）举例说明，如果F不是无挠的，结论（1）未必成立，(3)证明：任何线丛间的满态射：L→L必为同构.习题1.9（行列式映射）设&,F是光滑射影簇X上的同秩无挠层，Φ：&→F是非零态射.(1）证明：诱导了行列式映射detΦ：det&一→detF.(2)证明：detΦ是单态射当且仅当Φ是单态射.("←”来自命题1.2.8；”→”由习题1.7可归结到&,F是局部自由层的情形，再考虑detβ在每点处茎映射的定义）特别地，是单射时，斜率满足μ(8) ≤μ(F).(3)如果&,F是局部自由层，证明：detΦ是满态射当且仅当对每个点rEX，纤维映射p(r)：(a)→F()是满射(即(α)是同构),也当且仅当是同构，(4)举例说明，如果8或F不是局部自由的，那么det的满射性不能蕴含β的满射性(5)设8CF都是局部自由层，并且F，证明：μ()<μ(F).进一步，将这个结论推广到商丛情形.习题1.10设H是关于光滑射影簇X上的光滑有效除子，E,F是X上的全纯向量丛，8=Ox(E),F=Ox(F)是对应的局部自由层设Φ：FH一→EH是它们限制在H上的向量丛同态.(1）证明：如果H(X,FV8-H)=0，那么中可以延拓为X上同态Φ：F一→E，即Φ=dH.(2）设Φ：F→E是向量丛同态，并且rkE=rkF.证明：如果ΦH：FlH一EH是同构，并且C1()=Ci(F)，则重是同构-33-
第一章基础知识习题1.11设E，F都是复流形X上的全纯向量丛，证明：(1)ci(SmE)=Cm+r-1ci(E),这里 SmE表示m次对称积,r=rkE.(2)ci(ΛrE)=Ci(E)(r同上)(3)ci(EF)= 8ci(E)+rci(F),这里 8=rkF.(4)如果F是线丛,c2(EF)=C2(E)+(r-1)ci(E)ci(F)+rr=)c(F)习题1.12设E是复射影代数曲面X上的秩r全纯向量丛，En：=S"E（N"E)-号（n是偶数)，证明：(1)E兰En，这里E表示对偶丛，(2) ci(En) = 0, c2(En) = C3+2(c2(E) - 4c(E)习题1.13设E是复射影代数曲面X上的秩2全纯向量丛，L是E的极大子线丛0LEJz(L)→0是它诱导的正合列，Z是零维子概型，么是理想层．证明：(1) CI(E) = CI(L) + CI(L')(2) c2(E) = ci(L) · ci(L) + deg Z习题1.14证明：对射影平面上任何线丛L1,L2，扩张0LE20必是分裂的习题1.15：设E=Opr④Opr(e)(e≥O),:X:=P(E)一→Pl是对应的e次Hirzebruch曲面，带有截面Cα，使得C2=一e.设F是的一般纤维(1) 证明: OP(E)(1) = Ox(C), ZP(E)/x = Ox(-2C- eF).(2)证明：[由=oOpr(b -ek),ifi=0,a≥0,Rp+OP(E)(aCα+bF)=R④moOp(b+ek-e),ifi=1,a=-2-m,m≥0,( 0,else.(3)对非负整数a，证明：ho(aCoo +bF) = h(β(Ox(aC +bF))) = =oh(b -ek),h (aCα +bF) = h'(0(Ox(aCα +bF)) ==oho(ek -b -2).(4)证明：当a<0或b<0 时,总有 h(X,x(aC+bF))=0.(5)证明：当a≥0且6≥0时，则有h(X,2x(aCo+bF))=ho(X,aC+(b-2)F)+h((a-2)C+ (b-e)F)h(b - 2 - ek) +h(6 - e - ek)=K=0k=0（提示：将Ox(aCα+bF）张量到正合列0→*2p12x2p(E)/x0并利用Rlp*(aC）=0.)-34-