第一章基础知识定理1.2.5（凝聚性定理）RifF是Y上的凝聚层（i≥O)请注意，一般说来RifE不是向量丛.定理1.2.6（半连续性定理）如果f是平坦的，那么对任何≥0以及≥0Sh := (y EY| h'(f-I(y),Elf-1()) ≥k)是Y的解析闭子集，定理1.2.7(基变换定理)设于是平坦的，那么(1）对任何基变换都存在典范同构Φ*(RifE)= R'g+(*E)(2)(Grauert)给定i≥0,s(y) :=h'(f-1(y),Elf-1()), yEY是常值函数的充分必要条件是RifE是局部自由层，并且它在yEY处的纤维自然同构于Hi(f-1(y),Elf-1(y)(3)若对某个i，上述s(y)=0(VyEY),那么Ri-1fE在每一点yEY处的纤维Ri-1f+E(y) := Ri-1f.Eo k(y) = Hi-1(f-1(y), Elr-1().定理1.2.8（射影公式）设W是Y上的向量丛，那么Rf(f*W&F)=W&RifF,i≥01.2.5陈类设元：E→X是复流形X上的复向量丛（不要求全纯）.我们有如下定理定理1.2.9陈类公理化定义）存在唯一的映射C，使得c(E) =c(E)t* E H*(X,Z)[],,C(E)EH2i(X,Z),co(E) :=1并满足以下条件：(1) 若 rankE = 1, 则 c(E)=1 +tci(E).(2)设Φ：Y→X是连续映射，Φ*：H2i(X,Z)→H2i(Y,Z)是拉回映射，则c(@*E) = Φ*(c(E))(3)（Whitney公式）设E=F④G,则在H*(X,Z)环结构运算下，我们有c(E)=c(F)c(G)我们称c;(E)为E的第i陈类(Chernclass).- 20-
第一章基础知识c（E）EH2r(X,Z)可以看成余维数r的闭链类.利用如下的分裂原理，我们在计算陈类时，可以形式上把E分裂为一些线丛的直和，再结合Whitney公式来计算.命题1.2.9（分裂原理）存在一个连续映射Φ：Y一→X，使得拉回映射Φ*：Hk(X,Z)→Hk(Y,Z)是单射，并且*E是线丛的直和.读者可以通过习题1.11及习题1.12熟悉这方面的计算.此处不再赞述注1.2.6Whitney公式也可以用到短正合列上.命题1.2.10设元：E→X是全纯向量丛，8EH(X,E)，Z(s)是s的零子概型，那么cr(E) = Z(s).设秩r局部自由层ε的陈类多项式c(8) = I(1 + ait).i=1我们定义陈特征（Cherncharcter）ch(8) =1i=1及Todd类 (Todd class).td()=1=1设F是另一个局部自由层.ch(8)·td(F)幂级数展开后n次部分的系数可以用&,F的陈类来表示，记成(ch(8)-td(F))n.定理1.2.10(Hirzebruch-Riemann-Roch定理Hir66])设X是n维光滑射影簇，&是X上的局部自由层，那么x(8) = deg(ch(8) · td(Tx))n这里Tx是X的全纯切丛对应的层例 1.2.10(1)若X是光滑代数曲线，那么x(8) = rk&. x(Ox) +deg&(2)若X是光滑射影代数曲线，那么1X(8) = rk8 · x(Ox)+(G(8) -ci(8)Kx) - c2(8),对凝聚层下，我们可以诱导局部自由层的有限析解0→1..→→F→0由此可定义F的陈类c(F) = IIc(&)(-1).这个定义不依赖于析解的选取且仍满足Whitney公式（但未必满足其他结论）-21-
第一章基础知识例1.2.11（[Fri98],Ch.2,Sec.2,Page29）设Z是X的余维数为k的既约不可约子簇，8是Z上的秩r局部自由层，j：Z一→X是嵌入映射，那么由Grothendieck-Riemann-Roch定理可得[ 0,i<kci(j8) =I (-1)k-1(k -1)r[Z], i= k,这里[Z]EH2k(X,Z)是Z对应的闭链类特别地，取8=Oz，则有o,i<k(1-8)ci(j+Oz)(-1)k-1(k - 1)![Z], i= k.式（1-8)对任何纯余维数k的闭子概型都成立（即要求不可约分支都是余维数k)：习题1.13是-这个结论在曲面秩2向量从上的应用，请读者自已验证例1.2.12([Fri98],page30)设D是X的有效除子，j：D→X是嵌入映射(1)我们可以进一步确定j+Op所有的陈类，实际上只要将Whitney公式应用到如下正合列0OxD)OxjOD→0.即得c(j+OD) = c(Ox(-D))-1 =[D)tii(2)设L是D上的线丛.我们来验证如下公式[D],i=1,C(L) =[D]2 - jci(L), i= 2.首先设L=Op(H2-Hi)，这里Hi,H2是D上的无公共分支的有效除子.设ki：H,一→X是相应的嵌入映射将Whitney公式应用到如下正合列0→jOp(-H)jOp→kiOH0并利用(1)的结论，即得[D],i=1c;(jOD(-H1)) =[D]2 + [Hi], i = 2.再次应用Whitney公式到如下正合列0+Op(-H)+OpH2-H)—k2OH(H2-H)0并结合上面讨论即得证.1.2.6斜率与稳定性对光滑射影簇X上无挠的凝聚层F，我们可以定义所谓的斜率μH(F) := CI(F) · HdimX-1rkF这里H是事先给定的丰富除子- 22-
第一章基础知识例1.2.13(1)当X是光滑曲线时，μ(F)=de(不依赖于H的选取K(2)当X=IPn时，H的选取最多只相差一个倍数，因而斜率的值也只相差一个倍数.因此我们通常选取H是一个充分一般的超平面.L=HdimX-1是充分一般的直线，因而FL = Opi (a1) ... @ Op(ar)这样,C1(F)=亡ai从此意义上说，此时斜率的定义也不依赖于H的选取．请注意，FL的分i=1-解有可能依赖于L的位置，但是ci(E)是拓扑量，并不依赖于L.例1.2.14对任何非零无挠层正合列0FFF0由斜率定义直接可得min(μH(F),μH(F")≤μH(F)≤max(μH(F),μH(F"))-其中一个等号成立当且仅当μH(F)=μH(F"）=μH(F")定义1.2.6（Mumford-Takemoto稳定性）设F是无挠层，如果F满足以下条件，就称为H-稳定的（相应地，H-半稳定的)：对任何满足0<rk&<rkF的凝聚子层&，都有μH()<(F)（相应地,()≤(F)如果F不是H-半稳定的（H-semistable)，则称为不稳定的(Unstable)；如果F是H-半稳定的但不是H-稳定的（H-stable)，则称为严格半稳定的（Strictlysemistable)为方便起见，在不至于混淆的前提下，我们通常在叙述中省略H.当然，这并不意味着相关的概念与 H 无关.另外，也常常将 (1)定义式简单地写为警例1.2.15对光滑射影曲面X及其上的秩2向量丛E，E的任何秩1无挠子层都可写为Iz(L)，这里L是线丛，Lz是零维子概型Z上的理想层，注意到ci(Iz(L)= Ci(L)，因此μ(z(L)=μ(L).这样，为了验证E的（半）稳定性，我们只需要验证E的子线丛的斜率是否满足条件L·H = μ(L) <μ(E) = (E)·H(相应地，μ(L)≤μ(E),2即(ci(E)-2L)H>0(相应地，(ci(E)-2L)H≥0).进一步，任何子线从的斜率总是不超过相应的极大子线丛的斜率，因此最终我们只需要验证E-的极大子线丛的斜率是否满足条件命题1.2.11（稳定性的等价叙述）设&是光滑射影簇X上的无挠层，则以下条件彼此等价：(1）&是稳定的（相应地，半稳定的)(2)对任何满足0<rkF<rkε且使得8/F无挠的子层F，都有μ(F）<μ()（相应地，μ(F) ≤μ(8))-23-
第一章基础知识(3)对&的任何满足0<rkH<rk&无挑商层H,都有μ(8)<μ(H)相应地，μ(8)≤μ(H))(4）存在线丛L，使得&L是稳定的（相应地，半稳定）(5）对任何线丛L,&L是稳定的（相应地，半稳定)(6)8VV稳定（相应地，半稳定).(7)8V稳定（相应地，半稳定)证明(1)→(2)是平凡的.(2)一（1）由推论1.2.1，对任何子层F，可构造F在8中的极大正规扩张F.因而&/F是无挠的，且μ(F)≤μ(F）（习题1.9).因此由(2)的假设条件立得(1)(2)一(3)来自于例1.2.14.(1)一→(4)一→(5)来自于习题1.16.(6)→(7)→(1)来自于(2)与(3)的等价性(1)一（6）已知&是（半）稳定的.我们取F是&W的正规子层，使得H：=8VV/F无挠设H是8在典范单态射μ：8→8VV（命题1.2.5）及投影8VV-H的复合下，于H中的像层F=Ker8一→H').我们有正合列交换图S11&VV0H--0F注意到这些层都是无的，并且上下对应的层在某开集上是同构的.由命题1.2.8，它们对应的行列式丛映射都是单的.因而（以下简记deg&=ci(）·HdimX-1等等)deg & = deg F' + deg H'≤ deg F + deg H = deg EVV= deg &.这就迫使degF=degF，degH=degH.因此μ(&VV) =μ(8) <(or ≤)μ(H) = μ(H).由(1)和(3)的等价性，即知&VV半稳定注1.2.7实际上，我们在计算次数degH&=ci(8)·HdimX-1时，可以把它理解为ε限制在曲线L=Hdimx-1上的次数来理解。由于曲线上无挠层就是局部自由层，因此对无挠层8，有-deg&W=deg&命题1.2.12设&,F是半稳定层，那么&④F半稳定当且仅当μ(）=μ(F)证明月（）此时ε既是εF的子层又是它的商层，因而由命题1.2.11可知μ(8）=μ(8④F)同理F)=μ(&F)()已知μ(8)=μ(F).由例1.2.14的计算立知μ(8④F)=μ(8).设H是8④F的子层，0<rkH<rk(8F).我们只需要证明μ(H)≤μ()-24-