第一章基础知识注1.2.4复流形X上的凝聚层F在处的茎F与纤维F(a)=Fa/mrF显然是两个不同的概念，前者是Ox.z-模，后者是C上的向量空间，正如注记1.2.2所指出的，茎态射的单射性不能保证纤维态射的单射性，但是纤维态射的满射性蕴含了茎态射的满射性（由Nakayama引理），我们往往可以利用这一点来证明某些凝聚层态射的满性比如下面的结论正是利用了这个■原理，命题1.2.3设β：F→F是紧复流形上的凝聚层F到自身的单态射，则Φ是同构证明此时Hom(F,F)是C上的有限维空间.因此β满足多项式方程，注意到β是单射，因此我们可以假设该多项式含有非零常数项（否则可以消去因子).注意到每个纤维F(α）=F/mF都是C上的有限维向量空间，p满足的多项式方程显然在每个纤维F(）上都成立因为该方程有非零常数项，因此这就推出在F()上是满的.由■Nakayama引理，即得的满性，定义1.2.4设F是X上的凝聚层，(1）如果对EX，F是无挠的Oxr-模，就称F在处无。若F处处无挠，则称F是无挠层(Torsion free sheaf) :(2)如果典范的层同态μ：F→FVV是同构，则称F是自反的(Reflexive).(③）如果对任何开集UX以及余维数至少为2的解析闭子集AU，限制映射F(U）一F(UA）都是同构，那么称F是正规的（Normal)例1.2.4很明显，无挠层的子层仍是无挠的；局部自由层都是无挠且自反的。另外，由黎曼■扩张定理，Ox是正规的例1.2.5设△是X上余维数至少为2的解析闭子集，理想层Ox是无挠的，但不是正规的-注1.2.5前面已提及，凝聚层的奇点集是余维数至少为1的解析闭子集，实际上还可以证明，无挠层的奇点集余维数至少是2、自反层的奇点集余维数至少是3.因此若X是光滑代数曲-线，那么无挠当且仅当局部自由.若X是光滑射影曲面，则自反当且仅当局部自由命题1.2.4设F是无挠的凝聚层，那么对每点EX，存在的邻域U以及层的单态射d: Flu -Our.证明因为F是凝聚的，所以我们只要构造茎上的单同态即可（见注记1.2.3)．设K是①x，的分式域.首先有典范同态FFaoxK=Kr因为F是无挠的，所以上述映射是单的.设e1，er是F，oxK的一组K-基，m1，，mk是F的生成元.于是m=Zijejj=1EK.在Ox,中取一个合适的元h，使得hjEOx.这样，FahhFcOxor.就是我们需要的映射-15-
第一章基础知识命题1.2.5考虑凝聚层F的典范态射μ：F一→FVV，则Kerμa=faeFlfa=o对某个feOxa,fo),rex.因此，F无挠的充要条件是μ为单态射.证明为方便书写，记R=Ox,a，M=Fr.显然MtorCKerμr·为证反过来的包含关系，我们不妨以M/MTor替代M.因此，我们只需要证明此时μ：M→MVV是单射.利用命题1.2.4，我们有交换图MR(Rr)WMV-这就得到了单射性，定理 1.2.1设F是复流形X上的凝聚层，那么以下条件彼此等价：(1）F是自反的(2）F是无挠且正规的(3）存在凝聚层N使得F=NV证明月(1)(=)(3)取N=F即得(3)（一）(2)由黎曼扩张定理，Ox是无挠且正规的.因此任何凝聚层的对偶是无挠且正规的(留给读者验证).(2）（一）（1）由命题1.2.5以及F的无挠性，μ：F→FVV是单态射。进一步，在奇点集S(F)（它的余维数至少是2)之外，μ是同构.这就得到以下交换图F(U)→FV(U)U)S(F)U\S(F)F(U\S(F))三FV(U\S(F)这里U是任意开集.由于F正规，因而上图中的映射IU\S(F)是同构，故μ：F(U)→FVV(U)是同构.-对一个秩r无挠层F，我们可以定义行列式丛（Determinantbundle）detF：=（ΛrF)VV.由下面的结论，它是一个线丛.命题1.2.6秩1的自反层是线丛.(证明见[OSS80，引理1.1.15,page154])命题1.2.7设0F→H→0是层的正合列，其中&是自反的，H是无挑的，则F是正规的.-16-
第一章基础知识证明设U是开集，ACU是余维数至少为2的解析闭子集，因FH是无挠的，故有单射F(U) - F(U LA),H(U) H(U /A).现在我们有交换图000u2770F(U)(U)H(U)TUVACF(U\A) 4E(U\A) U4 H(U\A)0-我们只需要证明F(U）→F(U\A)是满射.假设sEF(U\A),s=U)A(s).由于PU)A(s)=0且H(U)→H(U\A)是单射，因而s（视为ε(U）中的元素）也落在Kerpu=Imbu中，即存在tF(U)使得s=bu(t).那么u\A(tlu\A)=s由于U\是单射，所以tu\A=s.由此推出F(U) = F(UIA),命题1.2.8设Φ：F→F是具有相同秩的无挠层之间的单态射，则可诱导行列式丛的单态射det@：detFdetF证明设A是这些层及F/F的奇点集，那么在XA上F→F是同构，从而detFdetF也是同构，因此Kerdet@是挠层，其支集落在A中，但是另一方面，它作为detF的子层-是无挠的因此支集是空的，即它是零，定义1.2.5设&是自反层，F是&的凝聚子层，如果一个凝聚子层F满足FCFC8且rkFrkF，我们就称F是F在&中的扩张（Extension).进一步，F若是正规的，则称它是F在&中的正规扩张.对上述扩张，由蛇形引理，我们有正合列交换图00这里H=E/F.H=&/F.T=Ker(H一H)是挠层，并且显然落在H的挠子模层T(H)中这样，F"：=Ker(8一→HT(H)）是F在8中的极大扩张.由命题1.2.7，它是正规的.这就得到如下结论，- 17-
第一章基础知识推论1.2.1设ε是自反层，F是ε的凝聚子层，则存在F在ε中的极大正规扩张另一方面，FVV也是F在&中的极小正规扩张1.2.3一些上同调定理关于局部自由层（更一般地，凝聚层）及其上同调，我们罗列一些常用的经典结论定理1.2.2（Serre对偶定理）设X是n维复光滑射影簇，&是局部自由层，F和G是凝聚层，则(1) Hi(X,8) = Hn-i(X,wx &V)).(2) Ext'(F,wx) = Hn-i(X, F)V.(3) Ext(F,8V g) =Ext"(F &,9),(4) Ext"(Ox, F) 三 H'(X, F).(5）对任何q≥1，当m充分大时，总有H9(X,F(m))=0例1.2.6（全纯截面空间）设E是光滑射影簇X上的全纯向量丛，利用E上的E算子所诱导的Dolbeault复形，上同调Ho(X,E)=I(X,E)就是全纯截面张成的有限维空间■例1.2.7对线丛L1,L2,Ext'(L2,Li)中的元素n可以理解为Li通过L2的扩张(Exten-sion)0LEL2—0的同构类（E，是秩2向量丛).这里的同构是指如下交换图成立，En0--LIL2-UE0 → L1 →0￥L2这里α：En一→E是同构.n=0对应分裂的扩张如果将交换图中左右竖列的等号改成同构映射，那么就称这样的同构为弱同构（Weakisomorphism)注意到线丛的同构相当于非零数乘，因此弱同构相当于给出Ext（L2,L）上的C*×C*作用.这个作用对E来说，只是由数乘诱导的自同构（相当于标架的放缩），并且对角线[(g,9)IgEC*)作用在强同构类上是平凡的.因此弱同构类可以看成是Ext(L2,L1)/C*中的元素.换言之，不分裂的扩张的弱同构类可以视为P(Ext'(L2,L1))中的元素-对丰富的线丛，我们有如下的上同调判则（通常称为Serre判则）这里为方便读者，我们也把其他判则罗列在一起，定理1.2.3（Cartan-Serre-Grothendieck定理）设L是光滑复射影簇X上的线丛，则以下条件彼此等价：(1)L是丰富丛.-18-
第一章基础知识(2）对任何凝聚层F，存在依赖于它的正整数mi，使得当m≥m1时，总有H(X,F&Lm) =0,i> 0.(3）对任何凝聚层F，存在依赖于它的正整数m2，使得当m≥m2时，FLm都由整体截面生成（见定义2.1.1)(4）存在正整数m3，使得当m≥m3时，L&m总是非常丰富层例1.2.8设ε是PM上的局部自由层.注意到h(Pn,8(m) = h"(IP",8(-m-n-1),故由上述结论，可以找到一个整数mo=mo(8)，使得ho(P",(mo))0,h(IP",8(m)) = 0, Vm <mo.至于如何具体求出这样的mo，这并非易事，对于ε=2p的情形，我们可以精确求出所有的同.调（见Bott公式，定理8.1.1)，定理1.2.4（Lefschetz超平面定理）设X是n维复光滑射影筹，Y是X上有效的丰富除子，则限制映射* : H*(X,Z) → H*(Y,Z)当k≤n-2时是同构；当k=n-1时是单射特别地，如果Y也是光滑的，那么限制映射Tpg :H9(X,)H9(Y,P)当+≤n2时是同构；当p＋=-1时是单射,例1.2.9我们利用上述结论来证明H9(Pn,Op）=0对任何q≥1成立.当α>n时，结论显然。因此我们只需要讨论q≤n的情形我们首先证明q=n情形，此时由例1.1.12及Serre对偶定理可得h"(Pn, Opn) = h°(Pn,wpn) = h(Pn, Opn(-n - 1)) = 0.其次证明q=n-1的情形.因为限制映射r0,n-1:Hn-1(P",Opn）→Hn-1(Pn-1,Opr-1)是单射，所以结合上面讨论可得hn-1(Pn, Op)≤hn-1(Pn-1, Opn-1) = 0因此hn-1(Pn,Opn)= 0.现在讨论q≤n-2的情形.由Lefschetz超平面定理，我们有H9(Pn,Opn)≥ H9(Pn-1, Orpn-1) ≥.. H9(P9+1, Opa+1)由上面讨论，H(IP+1,Opg+)=0.因此H(Pn,Op）=0.-1.2.4高次正像层设f：X→Y是光滑射影簇之间的正常全纯映射，F是X上的凝聚层，E是X上的向量丛，我们介绍几个和高次正像层有关的定理-19-