第一章基础知识例1.1.14(秩二向量丛的对偶)设E=[ΦαB}是秩2向量丛，我们来证明EE& (det E).事实上，可取全纯函数族[ha}：ha(n) =容易验证Taal = ha-@ag (det dap)-1 .hgl一利用推论1.1.1即得结论上述结果实际上是如下结论的特例命题1.1.2（[Hir66]，定理3.6.1，page47)设E,E,E"是X上的向量丛，证明(1) (EE)E"=E(EE"),E④E'=E@E.(2)(EE)E"E&(EE"),EEEE.(3)(EE)E"E&E"E'E"(4)(EE')YEE,(EE')YEEV(5) Hom(E,E)=EVE', (E)=E.(6)设r=rkE,则(Ar-PE)V=Ar-P(EV)=A"EAPE=APE(detE)(请读者自己验证）向量空间的一些正合列的性质也能推广到向量丛上命题1.1.3(Hir66)，定理4.1.2及4.1.3,page54-55）考虑向量丛的正合列0wlw.w0.设E是另一个向量丛，我们有如下正合序列(1) 0Hom(E,W")Hom(E,W)→Hom(E,W")→0.(2)0-W'&EWE-W"E0(3) 0(W")W(W)0.(4)若W是线丛，则0AP-1W"W"-APWAPW"0(5)若W"是线丛，则0APWIAPWAP-1W'W"0（请读者自己验证）- 10-
第一章基础知识1.2凝聚层的预备知识1.2.1局部自由层在层论中，与向量丛对应的概念是局部自由层．很多时候，我们都将这两者等同起来处理定义1.2.1设&是复流形X上的层，如果满足如下性质，就称为秩r的局部自由层(Local freesheaf)：对任何aEX，存在a的邻域U，使得lu=OT.设E是复流形X上的秩r全纯向量丛.我们可以构造Ox-模层O(E)：在每个开集U上，O(E)(U)：=T(U,E)由E在U上的全纯截面构成，称为全纯截面层我们证明如下主要结论，命题1.2.1设ec(X)是X上全纯向量丛同构类的范畴，Moo(X)是X上局部自由Ox-模层同构类的范畴.那么E一O(E）给出了从ec(X）到too(X）的自然等价.具体言之，(1)全纯向量丛E的全纯截面层O(E)是秩r局部自由Ox-模层.(2）对任意秩r局部自由Ox-模层&,存在X上唯一的全纯向量丛E，使得&=Ox（E)(3）上述对应保持了向量丛或层之间的同态，证明(1)O(E)lua=O(Elua）=O(Ua×Cr）=Oluar，回顾E在Uα上的局部基ea(a)=(ea1(a),...,ear(a))（见式(1-1)).显然,ea1(a),..,ear(a)可以视作O(E)lu。=Olu。的一组基，它们满足转换关系(1-5)(epl,*..,epr) = (eal,.. ,eor) .dap(2)设[ea1,，Car）是&lu=O作为Ou-模的基.由（lua)luanUg=（8lug)luanUg，我们有基之间的变换式(1-5).这族变换[Φαβ)给出了全纯向量丛E,因而8=O(E),(3)考虑向量丛映射：E→F.我们定义相应层的映射Φ : O(E) →O(F), 8 →Φ0 8.反过来，考虑任一局部自由层态射亚：O(E）→O(F).选取合适的开覆盖[Ua)αEI，使得O(E)lua=Or, O(F)lu=Or.设ea(r) = (eal(),...,ear(r)), ea(r) = (eai(r),...,ear(r))分别是O(E)和O(F)的局部基，那么亚ua诱导了全纯映射ha：Uα→Mrxr(C)，使得(uag(eal(a)),,dUaa(ear())=(eal(α),.,earr())ha()由定义可验证它满足命题1.1.1的关系式1-4.因此这就构造了向量丛同态Φ：E一→F.注1.2.1一般说来，向量丛强调的是标架，而局部自由层强调的是截面。不过基于以上的自然等价，我们在讨论问题时，往往将全纯向量丛和全纯截面层等同起来：这样处理是非常便捷的．今后如无特别声明，我们就不再区分两者．这里再解释一下茎和纤维的关系.局部自由层8=Ox(E)在aEX处的纤维可以理解成8(a):=&/I(8),这里工是a处的理想层.它是C.上有限维向量空间.我们可以把ε（α）和向量丛E的纤维E等同起来- 11-
第一章基础知识注1.2.2这里要特别提醒读者注意，上述自然等价并不保持同态的单射性：具体言之，即使Ox（E)→Ox（F)是单射，也不能保证E→F是单射：局部上看，相当于说茎映射Oxr(E）→Ox(F)的单射性不能保证纤维映射Ea→F的单射性：比如取X=C,0（fi，，fEHo（X,O）使得诸f:有公共零点T，则p:OxOr.h-→(hfi,...,hfr)是层的单同态.但是对应的向量丛同态在处是零映射，不过满射性仍然保持.由Nakayama引理（见习题1.19)，纤维映射E一→F是满的当且仅当茎映射也是满的.一在代数几何中，线丛（可逆层）是重要的研究对象之一，它们和除子有着密切联系，为方便读者，我们简单回顾一下：设D是X上的超曲面.D在每个坐标开集U。上由全纯函数f的零点集（记为V(fα））定义，由V(fa)luanU。=V(fo)luanUa，可找到在UαnU上无零点的全纯函数lα3，使得fa=lapf3容易验证，{la3]诱导了一个全纯线丛[D]={lα3].更一般地，任何除子D可以写成Zn;Di=1这里niEZ，D;是超曲面.设[D]=[eiaB].我们可诱导全纯线丛[D] := [Di]m &.. [Dm]8mm =Ien反过来，任给线丛L，以及非零半纯截面sEL（即截面是半纯的)，那么L兰[divs)].s是全纯的当且仅当div(s）是有效除子进一步，两个除子诱导同构的线丛当且仅当它们线性等价。例1.2.1如果XCPn是复射影簇，我们可以构造线丛=Opm(1)Ix，即超平面截口除子对应的线丛.对X上的局部自由层（更一般地，凝聚层）F，我们通常记F(m）：=Fm反过来，一个非常丰富线丛（veryamplelinebundle）就是指它是某个超平面截口除子对应的线丛.一个线丛H被称为丰富的（Ample)，是指对某个正整数mo，Hmo是非常丰富的-例1.2.2（整体截面诱导的层态射）设E是X上的向量丛，sET(X,E)是E的非零全纯截面.我们可以诱导层的单态射v: Ox -Ox(E), h-hs反过来，任何单态射V:Ox→O(E)诱导了全纯截面s=V(1)E(X,E)更一般的，给定非零全纯截面81，8kET(X,E)，我们可以诱导层态射v:OkO(E),(hi,...,hh)-hisi +.+htskh.一般说来，它既不是单态射，也不是满态射。如果它是满射，我们就说O(E）是由整体截面生成的(见第2.1节)对上述态射取对偶得* : O(EV) → Ok,*-→(E*(s1),...,$*(sk)它通常既非单射也非满射，--12-
第一章基础知识例1.2.3(Euler序列)我们将诱导所谓的Euler正合列（Eulersequence)0— Op Opn(1)(n+1) — Tpm - 0.我们来解释该正合列的几何意义首先考虑标准投影T : Cn+1- [O P", (Xo..., Xn) -[Xo..., Xn].设=X;/Xo是IPn的仿射坐标.我们有a"Xk.aa1aXodX,- X;dXor*driT+XoT+X,Xo"OrkX特别地n001XkaXk人=0T是Cn+1上的向量场，称为Euler向量场XkoX0N对任何线性函数(X)=aX及(X)=a(X)=0* (u(X)) = T+(u(入X), V入EC因此元*(α(X))诱导了Pn的向量场现在我们可以构造层态射T : Opn(1)由(n+1) Tpm, (00,,On) -C这里gi(X）EOpn(1)是线性齐次多项式.可以验证T是满的且KerT=Op（由截面(Xo,...,Xn)生成)对欧拉序列取对偶，则得0 2pu Op(-1)g(n+1) Opm 0,或写为0 → 2pn(1) 08(n+1) 二 Opm(1) — 0.(1-6)p是所谓的赋值映射（见第2.1节).取定整体全纯截面空间r(IPn,Op(1))中的一组基Xo.*.+,Xn,则p(fo,...,fn)=fo.Xolu+...+ fn.Xnlu, fiOpn(U)2pn(1)相当于诱导的核丛（见第2.1节的定义)对正合列(1-6)取外积，并利用命题1.1.3(4)可得正合列(1-7)0 p(p) Omp-l(p) 0, m-关于欧拉序列的详细讨论也可参见[GrHa94,Page409]-13-
第一章基础知识1.2.2凝聚层凝聚层是比局部自由层更广泛的一类对象，它在很多方面保留了局部自由层的性质，我们在处理向量从问题时、经常会讨论凝聚层这类对象定义1.2.2设F是复流形X上的Ox-模层，如果满足如下性质：对于任一点aEX，存在工的邻域U以及如下的正合列OluFlu0那么我们就称F是有限型Ox-模层（Finitetype)定义1.2.3设F是复流形X上的有限型Ox-模层，如果满足如下性质：对于任一邻域U以及任意Oxlu模层态射g：（Oxlu）④q→Fu，Kerg也是有限型的Oxlu-模层，那么我们就称F是凝聚层（Coherentsheaf)这里罗列凝聚层的一些基本性质命题1.2.2设X是复流形，F，9是凝聚层，那么(1）（Oka引理[OKa61)X上的结构层Ox是诺特的，因而是凝聚层，子流形Y≤X的理想层也是凝聚的(2)设08VH0是Ox-模层的正合列.若其中有两个是凝聚的，则第三个也是凝聚的(3)F①G也是凝聚的。其逆也成立.(4)设p：F→G是凝聚层之间的态射，那么Kero,Imp及cokerp都是凝聚的，(5)Fox9,光om(F,9)也是凝聚的.(6）层是凝聚的当且仅当对每个点aEX，存在a的邻域U以及正合列oluoluu0（7）局部自由层都是凝聚的我们还可以定义凝聚层F的奇点集（Singularityset）S(F)=(aEX|F不是自由-Ox,模可以证明，SF）是复流形X中余维数至少为1的闭解析子集.因此F在X）S(F）上是局部自由层.由此还可定义F的秩（Rank）为这个局部自由层的秩注1.2.3凝聚层的有限型这一性质在讨论问题时往往很有用.比如在构造局部映射时，我们只需要构造茎的映射即可.这是因为上可以找有限个生成元，它们在的某个邻域上仍是F的局部生成元茎上的映射由这些生成元确定，从而可以延拓到邻域上.另外，有限型的模层的支撑集是闭集，换言之F=0蕴含着FU=0在某个邻域U成立.因此如果我们有凝聚层的.茎之间的单态射，那么在延拓到邻域时，单性被保持（只要考虑态射的核即得）-14-