第一章基础知识例1.1.7(向量丛的对称积)设E=[Φap}是秩r向量丛．我们定义对称积(Symmetricproduct)SE=(Sha)具体地说，ShE的局部基可取为ea1(a)mea2(a)n2...ar(n)n，这里ni=k，ni≥0.因此r+k-rkshE-k特别地，如果E是线丛，那么SE=E仍为线丛-例1.1.8（向量丛的外积）设E=Φαβ)是秩r的向量丛．我们定义外积（Wedgeprod-uct)KE=a)E的局部基可取为eαii^..^eai，这里1≤i<i≤r.因此rkAhE特别地，当k=rkE时，我们得到E的行列式丛（Determinantbundle)detE:=^E= {det Φα].它显然是线丛，由例1.1.2，可以定义2：=入P2x：特别地，(a(tg,...,n)wx:=A"xU(ral,...,an)被称为典范丛(Canonicalbundle)例1.1.9（向量丛的拉回）设f:Y→X是复流形间的全纯映射.E=[Φαs)是X上的向量丛，我们可以定义Y上的拉回向量丛f*E=(f*das)我们解释一下*g的含义.设aβ=（a)jr，那么f*α=（*a)<ij<r，这里f*aj：=aij·f视为Y上的函数如果f：Y-→X是包含映射，那么f*E=Ey是向量丛E在Y上的限制.定义1.1.2设元：E一→X是秩r全纯向量丛它的全纯截面(Holomorphic section）是指一个全纯映射8：X一E.满足元08=Id.由平凡化映射（事先取定Cr的标准基e1,..·,er),Pa o slu(a) = (a,sa(r),-5-
第一章基础知识这里(8a1(r))Sa(a) ="(Sar(a))是全纯的向量函数.由式(1-2)以及s(a)=eα()sα()=eg(r)ss(),8α(α) = Φa3 -83(α).(1-3)E的全纯截面全体构成C上的向量空间，记为T(X.E).类似地，我们也可以定义半纯截面的概念.例1.1.10设E={Φ。l,E=[l分别是秩为r,r的向量丛.Ss'分别是E,E'的截面.它们的局部纤维基分别是ea(r) = (eai(r),...,ear(r)), ea(r) = (ea(),...,ear(r))(1）设e(r）=（ei(r)，...,er）是Ey的对偶基，满足(eu，ea）=Sy.EV的全纯截面sa(a) =Eso;(ar)ea,;(a)j=1满足如下转换关系(s01(eal(sales1Tdas(a)-= dap(a).+S3rSTearCor(2)EE'的全纯截面为sa(r) = sa,ij(r)eai(r) 8ea;(r)i.j(3）detE的全纯截面为a() = la(r)ea1(r) A... Near(r),这里la(a）是Uα上的全纯函数，满足la=detalg(4）设f：Y→X是全纯映射f*E的全纯截面为f*8a(y) = 8a(f(y).例1.1.11(纤维坐标)设元：E一→X是向量丛：如果我们把E作为复流形看，那么任一点pEE的局部邻域可以建立局部坐标.具体操作如下。首先设a=π(p）EUa，我们已有双全纯映射Pa：π-1(U）→Uα×Cr.因此Pa(p)在给定的标准基(eih<i<r下提供了自然的坐标Pa(p) =(a, za(p),这里(zal(p))"Zzai(p)ei.zα(p) =：i=1(zar(p)-6-
第一章基础知识p在元-1(Ua）上的纤维坐标(Fibercoordinates)定义为p= za1ea1(r)+...+ zarCar(r).由转换关系z(p) = ()z(p) =*()(p)z(p)2=【α}也可以理解为向量丛π*E→E的整体截面如果把纤维E中的点p理解为E中的向量，那么i实际上也能视为E上的线性泛函，即zi:EaC,p=zal(p)eal+..+zar(p)ear-zai(p)考虑EV的局部基e=（ea1..,er）满足例1.1.3的条件.这就有zi=ei：换言之，oi(i=1,...,r)可以看成EV={TΦ-)的一组基.这些函数之间可以有天然的加法与乘法运算因此?α=oS"EV被赋予了自然的交换环结构.显见，S"EV的全纯截面在Uα上就是2α1o的元n次多项式，其系数是关于a(eUa）的全纯函数.将来我们需要讨论多项式在向量丛上的■推广时，用对偶丛显然更为自然，注1.1.1(1)对截面s=[sα(r))而言，我们也可以用坐标等价地叙述为之=s()，即zoi = Sai(a).(②）上面这些讨论如果限制在一个向量空间上，只是一些经典的高等代数结论.我们在向量空间事先给定一组基（相当于给定了坐标系），那么上面的向量可以理解成坐标点，其分量就是坐标函数它们也可以看成这组基的线性泛函，因而构成了对偶空间的一组基，我们只是把这些讨论推广到向量丛上，让它们整体化，-例1.1.12（射影空间上的线丛）设X=Pn是n维复射影空间.[Xo，*，Xl是齐次坐标.考虑仿射开集AOU; =[X,, Xn]l X,0] = Cn) /X;+0.,1,X我们定义线丛H=（}：容易验证，H的全纯截面可写为2akEC.因此H的全纯截面空间（作为复空间）r(X, H) =(aXAl a E C),k=0进一步考虑线丛Hm=m>0Hm的全纯截面可写为({( )A10i2-7-
第一章基础知识这里f(ro，...,an）是C[ro,,an)中的m次多项式（即其中的单项式最高次数为m).因此F(X,Hm)={F(Xo....,Xn)IF是m次齐次多项式)计算维数可知dimc I(X, Hm) :HV有另一种几何解释：HV = (l,u) e pn × Cn+1| uEl),这里El是指e视为Cn+1中的直线，是l上的点，设leU,nUj，在U,上，右边向量丛的基ei=（，，)eCn+1)；在U,上的基ej=（，…，).因此Xiej=eiXi从这个几何解释上看，每个纤维HY就是e（作为直线看）：因此我们也将HV称为赞线丛(Tautologicallinebundle).有时我们也将（HV)m记为H(-m)如果用层的语言，我们也常常将Hm等同为Op（m）（见例1.2.1)1.1.2向量丛的同态定义 1.1.3设元：E→X和元：E→X是两个向量丛.如果存在全纯映射h：E一E使得以下交换图成立，YEE!并且对任意EX，hlE是线性映射，则称h为向量丛的同态(Homomorphism).进一步，如果h是双全纯的，则称h是向量丛的同构(Isomorphism)向量空间同态在不同基下的变化规律可以推广到向量丛的同构上命题1.1.1设E=Φα8]和E'=[4]分别是秩r和向量丛.(1)对任意向量丛同态h：E一E，可构造一族全纯映射ha：Uα一Mrxr(C)，满足交换图hluaEluaE'l.10paUa× CrU&× Cr(r,v) -→(a, ha(r) .v)并且满足转换关系(1-4)dashg(a)=ha(a)tap,rEUanUg,这里Mrxr(C)兰CrCr是r行列复系数矩阵构成的空间-8-
第一章基础知识(2)反过来，给定一族全纯函数hα：Uα→Mrxr(C)满足关系式(1-4)，那么它们诱导向量丛同态h:E→E.证明(1）已知存在同态h：E—E利用关系式ho(aa,a）=（a,ha(ra)ua)可得(a, ha(a)dasvp)=paohopa'(c,dag(c)ug)=(Pohopl)opao'(c,)=(p ohopp')(a,vg)再利用关系式h0(a,g）=(ag,hg(g))，我们有(r, ha(r)apg) =a (hol(, g)=P% o(psl(r, hg(r)ug)= (paop'g")(r,hg(r)ug)= (r, dahg(a)o3).由g的任意性，这就有shs(）=ha()a.(2）构造向量丛同态h: E= J[Uα × C" / ~ E'- J[Uα × Cr / ~, (r,u)( Uα × Cr) -(r, ha(r)u).aa我们只需要验证h的定义不依赖于开集的选取：具体言之，设（r,a）～（a,u）（即aa(a)u)，要证(,ha()a）～(,hg()ug).这来自于以下事实：ha(r)a=ha()ag()ug =da()(hg()ug)至此完成证明，■由命题1.1.1，可得如下推论，推论1.1.1设E=[ΦαB}和E'=[0%6}是秩r向量丛，则以下条件彼此等价：(1）存在向量丛同构h：E一→E(2)存在一族全纯映射hα:Uα→GL(r,C)，满足dag=ha(r)daghg(r)-1,rEUanUg例1.1.13（射影空间上的典范丛）回顾例1.1.12中的记号与概念我们考虑X=Pn上的典范丛wx.注意到O(rj1,.,jn)=(-1)+al-n = (-1)+3 (O(rii,.: ,Tin)因而由推论1.1.1，我们可取h；=（-1)，从而得到wx = (Hα(n+1)y.-9-