高等学校教材 初等数论 (第三版) 闵嗣鹤 严士健 编 高等教育出版社
高等学校教材 初 等 数 论 (第三版) 闵嗣鹤 严士健 编 高等教育出版社
第三版序 从本书第二版发行以来，经历了21年。在此期间，印行了27 次，印数累计达到27万余册。作为一本数论教科书，能够得到如 此广泛的使用，作为作者之一，深深感谢广大老师和读者对本书的 关爱和支持；同时也深深意识到作为本书作者的责任，如何让它能 更好地为社会服务。 20世纪是数学的黄金时代，在数论中最值得向广大读者介绍 的是世纪后期的两件大事：费马大定理获得证明和公开密钥体制 的建立。 可能费马也未必能想到，它在书边写下的一个结论和他关于 这个结论的附注“我对此命题有一个十分美妙的证明，这里的空白 太小，写不下”竟成了一个困扰了人类智者358年的谜团一费马 大定理，真正是“引无数英雄竞折腰”的难题。三百多年以来，人们 百折不回，此路不通又另辟蹊径。终于在世纪末的1994年才由安 德鲁·怀尔斯(Andrew Wiles)最后完成证明。费马大定理的证明， 既是数学界的盛事，更是人类智慧的象征，是一件具有伟大意义的 事件。它的证明过程提供了很多的重要启示。说明一个好的数学 难题应该能够对数学—甚至是科学一的发展起推动作用。就 像为研究欧几里得第五公设的独立性而发现非欧几何，为研究超 过四次的代数方程的根式解而产生伽罗华理论、建立群论一样，费 马大定理的证明的前期是发现理想子环一抽象代数的支柱之一 的原动力；在20世纪末有力地促进了数论与代数几何结合而形成 算术代数几何，证明了志村·谷山·韦依猜想(TSW猜想)而提供 了朗兰兹纲领(Langlands programme)成立的一个重要例证。说明 数学是统一的，既要搞清楚各个分支以至各个具体问题的结构，同 I
第 三 版 序 从本书第二版发行以来,经历了 21 年。在此期间, 印行了 27 次,印数累计达到 27 万余册。作为一本数论教科书, 能够得到如 此广泛的使用,作为作者之一, 深深感谢广大老师和读者对本书的 关爱和支持;同时也深深意识到作为本书作者的责任, 如何让它能 更好地为社会服务。 20 世纪是数学的黄金时代, 在数论中最值得向广大读者介绍 的是世纪后期的两件大事: 费马大定理获得证明和公开密钥体制 的建立。 可能费马也未必能想到, 它在书边写下的一个结论和他关于 这个结论的附注“我对此命题有一个十分美妙的证明, 这里的空白 太小,写不下”竟成了一个困扰了人类智者 358 年的谜团———费马 大定理,真正是“引无数英雄竞折腰”的难题。三百多年以来, 人们 百折不回,此路不通又另辟蹊径。终于在世纪末的 1994 年才由安 德鲁·怀尔斯( Andrew Wiles)最后完成证明。费马大定理的证明, 既是数学界的盛事,更是人类智慧的象征, 是一件具有伟大意义的 事件。它的证明过程提供了很多的重要启示。说明一个好的数学 难题应该能够对数学———甚至是科学———的发展起推动作用。就 像为研究欧几里得第五公设的独立性而发现非欧几何, 为研究超 过四次的代数方程的根式解而产生伽罗华理论、建立群论一样, 费 马大定理的证明的前期是发现理想子环———抽象代数的支柱之一 的原动力;在 20 世纪末有力地促进了数论与代数几何结合而形成 算术代数几何,证明了志村 - 谷山 - 韦依猜想( TSW 猜想 )而提供 了朗兰兹纲领( Langlands programme) 成立的一个重要例证。说明 数学是统一的,既要搞清楚各个分支以至各个具体问题的结构, 同 Ⅰ
时要搞清楚各个分支之间的本质联系。说明数学甚至科学的重大 成就常常是一种艰巨的接力运动，后人的伟大是“站在巨人的肩膀 上”。说明人类的智慧是无限的，产生于艰苦的努力之中。这是我 想在这本小书中和读者交流、讨论的认识之一，为此在这一版中增 加了费马大定理证明过程的介绍。 数论，作为课程内容常常被认为是介绍一些基础知识，作为研 究内容是一大批纯数学的难题，经常被认为与实际应用没有多大 关系的学科。有些学者就是由于这个原因而在某个时期转而从事 其他分支的教学与研究。但是出乎人们的预料，在20世纪后期， 随着计算机技术和信息科学的发展，人类进入了信息时代，科学和 技术进入了新的时代，提出了信息安全这样的重大问题。在这种 背景下，数论在实际应用的前沿做出了重大的贡献，为解决信息安 全问题提供了一种核心技术一公开密钥。这一事实再一次（因 为这种情况不止一次地出现)告诉人们，对于基础科学的作用应该 有一个正确的认识，它不但在基础方面对科学、技术乃至思维方面 起着奠基的作用，而且在技术的发展方面有时能做出突破性贡献。 同时也启示我们，学习一门学科虽然不能都要求全面掌握，但是应 该对它有全面的了解，做到胸有成竹、能够抓住时机。这一事件对 于从事数论学习、研究的人们也是一个巨大的鼓舞。为此我在这 一版中介绍了公开密钥的原理、基本方法和资料。 另外，本书的目的是向读者介绍数论本身的基础知识，并增加 了一些大纲以外的材料，这些外加材料都独立成节或在习题中出 现，特别用星号*加以标志。但是读者如果能进一步理解它与数 学的其他分支的联系不但能更好地掌握和运用数论的基础知识， 而且对于理解其他分支乃至数学都是有益的。以往我们在这方面 作过一些努力，如介绍数论函数、三角和的基本概念，这次趁再版 的机会，在有关章节建议读者与抽象代数联系并加以考察。 我希望对本书的补充和修改能够保持原书的意图，因为那是 闵嗣鹤老师和我共同的意愿
时要搞清楚各个分支之间的本质联系。说明数学甚至科学的重大 成就常常是一种艰巨的接力运动,后人的伟大是“站在巨人的肩膀 上”。说明人类的智慧是无限的, 产生于艰苦的努力之中。这是我 想在这本小书中和读者交流、讨论的认识之一, 为此在这一版中增 加了费马大定理证明过程的介绍。 数论,作为课程内容常常被认为是介绍一些基础知识, 作为研 究内容是一大批纯数学的难题, 经常被认为与实际应用没有多大 关系的学科。有些学者就是由于这个原因而在某个时期转而从事 其他分支的教学与研究。但是出乎人们的预料, 在 20 世纪后期, 随着计算机技术和信息科学的发展,人类进入了信息时代, 科学和 技术进入了新的时代, 提出了信息安全这样的重大问题。在这种 背景下,数论在实际应用的前沿做出了重大的贡献, 为解决信息安 全问题提供了一种核心技术———公开密钥。这一事实再一次 ( 因 为这种情况不止一次地出现)告诉人们, 对于基础科学的作用应该 有一个正确的认识,它不但在基础方面对科学、技术乃至思维方面 起着奠基的作用,而且在技术的发展方面有时能做出突破性贡献。 同时也启示我们,学习一门学科虽然不能都要求全面掌握, 但是应 该对它有全面的了解,做到胸有成竹、能够抓住时机。这一事件对 于从事数论学习、研究的人们也是一个巨大的鼓舞。为此我在这 一版中介绍了公开密钥的原理、基本方法和资料。 另外,本书的目的是向读者介绍数论本身的基础知识, 并增加 了一些大纲以外的材料, 这些外加材料都独立成节或在习题中出 现,特别用星号 * 加以标志。但是读者如果能进一步理解它与数 学的其他分支的联系不但能更好地掌握和运用数论的基础知识, 而且对于理解其他分支乃至数学都是有益的。以往我们在这方面 作过一些努力,如介绍数论函数、三角和的基本概念, 这次趁再版 的机会,在有关章节建议读者与抽象代数联系并加以考察。 我希望对本书的补充和修改能够保持原书的意图, 因为那是 闵嗣鹤老师和我共同的意愿。 Ⅱ
再一次感谢所有关心、支持此书的教师和读者，感谢高等教育 出版社积极推动此书的再版。由于时间和水平所限，不妥和错误 之处在所难免，希望老师们和读者继续关心和支持，随时指正，不 胜感激。 严士健 2003年春节于北京师范大学 Ⅲ
再一次感谢所有关心、支持此书的教师和读者, 感谢高等教育 出版社积极推动此书的再版。由于时间和水平所限, 不妥和错误 之处在所难免,希望老师们和读者继续关心和支持, 随时指正, 不 胜感激。 严士健 2003 年春节于北京师范大学 Ⅲ
写在再版前面 作为《初等数论》的作者之一，能看到这本书由于社会需要而 再版，非常高兴，但是本书的主要构造者，我尊敬的老师闵嗣鹤先 生却没有机会看到这次再版，不能对本书亲自作一次中肯的修改， 这对我及读者都不能不是一件憾事。 由于本书是闵先生和我合作的结果，而且对当前教学还基本 合用，所以这次修订再版，我只改正了书中的一些错误。原来书中 提到的一些有关的数论研究课题的发展情况，目的是扩大青年同 学的眼界，也介绍一些（远不全面）我国学者的成就。本书出版后， 我国学者继续在一些数论问题上取得进展，有关原始文献容易得 到。因此我也只在有关地方改动一下提法以尽量减少变动。 根据我自己以及一些老师的教学实践，数学系（特别是师范院 校)的本科生在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的。 一方面通过这些内容加深对数的性质的了解，更深入地理解某些 其他邻近学科；另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训 练，这些训练在很多方面都是有益的。但本书作为每周四学时 学期的课程的教材，内容可能稍多一点。如果真是这样，我认为根 据上述要求，第五、七章的后几节及第六章可以全部不讲或者只介 绍一些基本概念。 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题有一个共同的特 点：问题本身很容易弄懂，容易引起人们的兴趣，要想推进却非常 之难。从数论的迄今发展历史来看，数论难题的解决或实质性进 展，都用到一些深刻的数学概念、方法和技巧。所以凡是有志于这 些问题的青年都应该扎扎实实地学习近代数论的一些方法和技 巧，并且十分注意推证和估计能力的训练。这样才有可能在这些
写在再版前面 作为《初等数论》的作者之一, 能看到这本书由于社会需要而 再版,非常高兴, 但是本书的主要构造者,我尊敬的老师闵嗣鹤先 生却没有机会看到这次再版,不能对本书亲自作一次中肯的修改, 这对我及读者都不能不是一件憾事。 由于本书是闵先生和我合作的结果, 而且对当前教学还基本 合用,所以这次修订再版, 我只改正了书中的一些错误。原来书中 提到的一些有关的数论研究课题的发展情况, 目的是扩大青年同 学的眼界,也介绍一些( 远不全面)我国学者的成就。本书出版后, 我国学者继续在一些数论问题上取得进展, 有关原始文献容易得 到。因此我也只在有关地方改动一下提法以尽量减少变动。 根据我自己以及一些老师的教学实践,数学系( 特别是师范院 校)的本科生在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的。 一方面通过这些内容加深对数的性质的了解, 更深入地理解某些 其他邻近学科;另一方面, 也许更重要的是可以加强他们的数学训 练,这些训练在很多方面都是有益的。但本书作为每周四学时一 学期的课程的教材,内容可能稍多一点。如果真是这样, 我认为根 据上述要求,第五、七章的后几节及第六章可以全部不讲或者只介 绍一些基本概念。 历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题有一个共同的特 点:问题本身很容易弄懂,容易引起人们的兴趣, 要想推进却非常 之难。从数论的迄今发展历史来看, 数论难题的解决或实质性进 展,都用到一些深刻的数学概念、方法和技巧。所以凡是有志于这 些问题的青年都应该扎扎实实地学习近代数论的一些方法和技 巧,并且十分注意推证和估计能力的训练。这样才有可能在这些 Ⅳ