译者序 概率论是研究自然界和人类社会中随机现象数量规律的数学分支.概率论的理 论和方法与数学的其他分支、自然科学、工程、人文及社会科学各领域相互交叉渗 透，已经成为这些学科中的基本方法.概率论（或概率统计）和高等数学一样已经成 为我国高等院校各专业普遍设立的一门基础课. 目前，这方面的教材已经很多，但这本由Sheldon M.Ross编写的《概率论基础 教程》确实是一本很有特点的好教材.如在介绍概率的概念时，作者还用流畅的笔 调介绍了这些概念的发展历史，从独立重复试验事件发生频率的极限到近代概率论 的公理，同时引用大量例子介绍如何利用概率的公理进行概率的计算.这种讲法，使 得即使是只具有初等微积分知识的读者，也会获益匪浅，对概率的概念有一个正确 的和深刻的认识.在介绍数学期望的概念时，作者用大量的例子，强调应用期望的 性质，特别是利用可加性进行期望计算，从而使读者加深了对期望的认识，也提高了 运算技巧.从本书第1章到第8章，讲授的主题着重于概率论最基本的概念，如概 率、条件概率、期望、大数定律和中心极限定理等.本书附有大量的有意义的练习， 分为习题、理论习题和自检习题三大类，其中自检习题部分还给出全部解答，以供 参考.从以上分析看出，本书完全实现了作者在他的前言中的目标——试图成为 概率论的入门书. 本书第1版出版于1976年，1981年在国内曾出过第1版的中文翻译版.此书经 过作者历次修改，内容大大扩充.这个翻译本是根据2006年原文第7版翻译.我们 认为这个版本是作者积累了几十年教学经验基础上的定型版，是一本优秀的教材. 此外作者的另一本著作《随机过程》已经成为国内概率统计界推崇的教材.我们相 信本教材也一定会受到国内各界的欢迎. 由于译者的学识和中英文水平有限，译文难免会有不妥之处，欢迎广大读者批 评指正. 译者谨识 2006年5月
前言 法国著名数学家和天文学家拉普拉斯侯爵（人称“法国的牛顿”）曾经说过：“我 们发现概率论其实就是将常识问题归结为计算.它使我们能够精确地评价凭某种 直观感受到的、往往又不能解释清楚的见解··值得注意的是，概率论这门起源于 机会游戏的科学，早就应该成为人类知识中最重要的组成部分···生活中那些最重 要的问题绝大部分恰恰是概率论问题.”尽管许多人认为，这位对概率论的发展作 出过重大贡献的著名侯爵说话有点过头，然而今日，概率论已经成为几乎所有的科 学工作者、工程师、医务人员、法律工作者以及企业家们手中的基本工具，这是一 个不争的事实.事实上，现代人们不再问“是这样么？”而是问“这件事发生的概率 有多大？” 本书试图成为概率论的入门书.读者对象是数学、统计、工程和其他专业（包 括计算机科学、生物学、社会科学和管理科学)的学生.他们的先修知识只是初等 微积分.本书试图介绍概率论的数学理论，同时通过大量例子说明这门学科的广泛 的应用. 第1章介绍了组合分析的基本原理，它是计算概率的最有效的工具. 第2章介绍了概率论的公理体系，并且指出如何应用这些公理进行概率计算. 第3章讨论概率论中极为重要的概念，即事件的条件概率和事件间的独立性. 通过一系列例子说明当部分信息可利用时，条件概率就会发挥它的作用；即使在没 有这部分信息时，条件概率也可以使概率的计算变得容易、可行.利用“条件”计算 概率这一极为重要的技巧还将出现在第7章，在那里我们用它来计算期望. 在第4、5、6章，我们引进随机变量的概念，第4章讨论离散随机变量，第5章 讨论连续随机变量，而将随机变量的联合分布放在第6章.在第4章和第5章中讨 论了随机变量的期望和方差，并且对许多常见的随机变量，求出了相应的期望和方 差. 第7章讨论了期望值和它的一些重要的性质.书中引入了许多例子，解释如何 利用随机变量和的期望等于随机变量期望的和这一重要规律来计算随机变量的期 望，本章中还有几节介绍条件期望（包括它在预测方面的应用）和矩母函数等.最后 一节介绍了多元正态分布，同时给出了来自正态总体的样本均值和样本方差的联合 分布的简单证明. 在第8章我们介绍了概率论的主要的理论结果.特别地，我们证明了强大数定 律和中心极限定理.关于强大数定律的证明，我们假定随机变量具有有限的四阶矩
2前言 在这种假定之下，证明十分简单.在中心极限定理的证明中，我们假定了莱维(Lévy) 的连续性定理成立.在本章中，我们还介绍了若干概率不等式，如马尔可夫不等式、 切比雪夫不等式和切尔诺夫界.在最后一节，我们给出用随机变量的相应概率去近 似独立伯努利随机变量和的相关概率的误差界. 第9章介绍了一些附加课题，如马尔可夫链、泊松过程以及信息编码理论初步. 第10章介绍了统计模拟. 第7版将教材内容进一步扩充与调整，加入了很多新的习题和例子.其中第3 章例3h进一步展示了e的无处不在；第3章例5f讨论了信息的序贯修正；第4章 例7d利用泊松近似的方法，证明了n次抛掷硬币试验中，正面朝上的最大游程的长 度以0.86的概率落入log2(n)±2的区域内.同时引入了关于优惠收集的若干 新的例子（第3章例4i,第7章例3d和例3f等）和多项分布的例子（第6章例4c). 本版还加入了许多新内容.例如增加了第2章命题4.4的附注.在关于事件和的概 率等式中，若取前面若干项可依次得到事件和的概率的上下界.7.3节是新编入的 一节，它讨论一串事件发生次数的矩的计算方法.作为例子，导出了二项、超几何、 配对问题以及负几何随机变量的矩的公式.关于二元正态分布，也加入了若干新材 料，在第6章例5c,导出了它的条件分布和边缘分布.第7章例5f中计算了两个变 量的相关系数，并利用相关系数分析了第7章例8b中的贝叶斯统计的例子. 与前几版一样，每章后面附了三组练习题，它们分别命名为习题、理论习题和 自检习题.在附录B中提供了自检习题的全部解答，以供学生检验他们的理解能力. 本书前几版曾带有磁盘，包含有概率模型部分的材料，现在这些内容可从本书 配套网站下载：http:/www.prenhall.com/Ross.1 学生利用网站可在以下6个方面快速计算和模拟： ·有3个模块可进行二项、泊松和正态随机变量的计算. ·另一个模块演示中心极限定理，考虑取0,1,2,3,4共5个值的随机变量，容许使 用者输入相应的分布和样本量n.模块将显示n个独立随机变量和的分布列， 当n增加时，能“看”到其分布列收敛到正态分布的密度函数的形状. ·其他2个模块演示强大数定律，使用者可以输入5个可能值的概率以及样本量 n.模块利用随机数模拟具有指定分布的一组样本.模块将各个结果出现的次 数用图形显示出来，同时给出样本均值.两个模块在显示试验结果上稍有差别. 我们感谢下列对本书各个版本给出十分有价值的意见的人们： Robert Bauer(伊利诺伊大学厄巴纳-尚佩恩分校)，Arthur Benjamin(Harvey Mudd 学院)，Geoffrey Berresford(长岛大学)，Baidurya Bhattacharya(特拉华大学)， Shahar Boneh(丹佛城市州立学院)，Nicolas Christou(加州大学洛杉矶分校)，Scott Emerson(华盛顿大学)，Larry Harris(肯塔基大学)，Julia L.Higle(亚利桑那大学)，Mark 1.本书配套材料也可从图灵网站www.turingbook.com下载
前言3 Huber(杜克大学)，Hamid Jafarkhani(加州大学厄文分校)，Chuanshu Ji(北卡罗来纳 大学Chapel Hill分校)，Joe Naus(罗格斯大学)，Nhu Nguyen(新墨西哥州立大学)， Ellen O'Brien(乔治·梅森大学)，Jim Propp(威斯康星大学)，Malcolm Sherman(纽约 州立大学奥尔巴尼分校)，Murad Taqqu(波士顿大学)，Eli Upfal(布朗大学). 我们同时感谢下列人员对于这一版的修改提出的有益的建议和意见： Anastasia Ivanova(北卡罗来纳大学)，Richard Bass(康涅狄格大学)，Ed Wheeler (田纳西大学)，Jean Cadet((纽约州立大学石溪分校)，Jim Propp(威斯康星大学)，Mike Hardy(麻省理工学院)，Anant Godbole(密歌根科技大学)，Zakkhula Govindarajulu(肯 塔基大学)，Richard Groeneveld(爱荷华州立大学)，Bernard Harris(威斯康星大学)， Stephen Herschkorn(罗格斯大学)，Robert Keener(密歌根大学)，Thomas Liggett(加 州大学洛杉矶分校)，Bill MeCormick(佐治亚大学)，Kathryn Prewitt(亚利桑那州立 大学) 特别要感谢Hossein Hamedani(Marquette大学)和Ben Perles对手稿的仔细 校社 我们也要感谢本书的早期版本的校阅者： Thomas R.Fischer(德州农机大学)，Jay DeVore(圣路易斯-奥比斯波的加州技术 大学)，Robb J.Muirhead(密歇根大学)，David Heath(康奈尔大学)，Myra Samuels(普 度大学)，I.R Savage(耶鲁大学)，R.Miler((斯坦福大学)，K.B Athreya(爱荷华州立大 学)，Phillip Beckwith(密歇根科技大学)，Howard Bird(圣克劳德州立大学)，Steven Chiappari(圣克拉拉大学)，James Clay(亚利桑那大学图森分校)，Francis Conlan(圣 克拉拉大学)，Fred Leysieffer(佛罗里达州立大学)，Ian McKeague(佛罗里达州立大 学)，Helmut Mayer(佐治亚大学)，N.U.Prabhu(康奈尔大学)，Art Schwartz(密歌根大 学安阿伯分校)，Therese Shelton(西南大学)，Allen Webster(布拉德利大学) S.R. smross@usc.edu
目 录 第1章组合分析 .1 4.4随机变量函数的期望.10 1.1引言 45方差.4. .112 1.2 计数基本法则 .1 4.6伯努利随机变量和二项随机 13非列 443 变骨4++*44.114 1.4组合 .4 4.6.1二项随机变量的性质.117 15名项式系数· 4.6.2计算二项分布函数.119 *1.6方程的整数解个数 4.7泊松随机变量 121 小结. 4.11 4.8其他离散型分布.。 130 习题 12 4.8.1 几何随机变量 130 理论习题 14 4.8.2负二项分布 131 自检习题 17 4.8.3超儿何随机变量 134 第2章概率论公理化 10 4.8.4c(ZiDf)分布 136 2.1 简介 4.9 分布函数的性质 137 22样本序间和事件 19 小结 138 2.3概率论公理 22 习题 140 2.4几个简单命题 24 理论习题 149 2.5 等可能结果的样本空间 28 自检习题 153 *26概名：连娃生函数 37 第5章连续型随机变量.156 27概率：确信程度的度量 40 5.1 简介 156 小结. 41 5.2连续型随机变量的期望和方 习题 42 差 159 理论习题. 47 5.3均匀分布的随机变量 .162 自检习题 54 正态随机变量 165 第3章条件概率和独立性.51 5.5指数随机变量 174 3.1简介 .51 5.6其他连续型分布 .179 3.2条件概率. .51 5.6.1厂分布. .179 3.3贝叶斯公式 5.6.2 威布尔分布 .180 3.4独立事件. 5.6.3柯西分布. .181 3.5P氏·1F)为概率 76 5.6.43分布*+. .182 小结. .83 5.7随机变量函数的分布 .183 习题： *84 小结. 184 理论习题 94 习颗. 186 自检习题 理论习题 190 第4章随机变量 102 自拾习颗 1.94 4.1随机变量 102 第6章随机变量的联合分布. 197 4.2离散型随机变量. 106 6.1联合分布函数 197 4.3期望 108 6.2独立随机变量 203