新课引入 上一节介绍了微分方程的基本概念，但没有介 绍如何解微分方程。 本节至第四节将讨论常见的一阶微分方程的解法 这节课我们介绍两种微分方程， 即变量分离方程和齐次方程的解法。 2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 上一节介绍了微分方程的基本概念， 新课引入 但没有介 绍如何解微分方程． 本节至第四节将讨论常见的一阶微分方程的解法 ． 这节课我们介绍两种微分方程， 即变量分离方程 和齐次方程的解法
第十一章 第二节变量分离方程 (Differential equations of the variables separated) 一、变量分离方程 二、齐次方程 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第二节 变量分离方程 第十一章 (Differential equations of the variables separated) 一、变量分离方程 二、齐次方程 三、小结与思考练习
一、变量分离方程 形如 p(x)dx=q(y)dy (1) 的方程，称为变量已分离方程，其中p(x),q(y)是已知 连续函数、 如果一阶微分方程可以化为形如（1)的方程，那么原 方程称为可分离变量方程. 设y=p(x)是方程(1)的解，将它代入方程，得恒等式 p(x)dx=q(p(x))o'(x)dx 两端积分，由y=p(x)引进变量y,得 p(x)dx =q(y)dy 2009年7月27日星期一 3 目录 上页今 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、变量分离方程 形如 p( )d ( )d x x qy y = （ 1 ） 的方程，称为变量已分离方程，其中 p( ) x ， q y( ) 是 已 知 连续函数． 如果一阶微分方程可以化为形如（ 1）的方程，那么原 方程称为可分离变量方程． 设 y x = ϕ( ) 是方程（ 1）的解，将它代入方程，得恒等式 px x q x x x ( )d ( ( )) ( )d = ϕ ϕ′ 两端积分，由 y x = ϕ( ) 引进变量 y ，得 p( )d ( )d x x qy y = ∫ ∫
设P(x)及Q(y)依次为p(x)及q(y)的原函数，于是有 P(x)=Q(y)+C (2) 因此，方程(1)的解y=p(x)满足关系式（2). 反之，我们也可以证明： 如果y=p(x)是关系式（2)所确定的隐函数， 那么在q(y)≠0的条件下，y=p(x)也是方程（1)的解. 事实上，由隐函数的求导可知，当q(y)≠0时， p'()=P田=p) '(y)q(y) 这就表示函数y=p(x)满足方程（1)， 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 设 P( ) x 及Q y( ) 依次为 p x( ) 及q y( ) 的原函数，于是有 Px Qy C () () = + （ 2 ） 因此，方程（ 1）的解 y x = ϕ( ) 满足关系式（ 2）． 反之，我们也可以证明： 如果 y x = ϕ( ) 是关系式（ 2）所确定的隐函数， 那么在 q y() 0 ≠ 的条件下， y = ϕ( ) x 也是方程（ 1）的解． 事实上，由隐函数的求导可知，当q y() 0 ≠ 时， () () ( ) () () P x px x Q y q y ϕ ′ ′ = = ′ 这就表示函数 y x = ϕ( ) 满足方程（ 1）．
综上可知，如果在变量已分离方程（1)中，p(x),q(y 是连续的，且q(y)≠0，那么(1)式两端积分后得到的关系 式（2)，就用隐函数的形式给出了方程（1)的解，（2)就 叫做微分方程(1)的隐式解.又由于关系式（2)中含有任 意常数，因此（2)式所确定的隐函数是方程（1)的通解， 所以(2)式叫做微分方程（1)的隐式通解. 类似的，当p(x)≠0时，(2)式所确定的隐函数x=(y) 也认为是方程(1)的解. 2009年7月27日星期一 5 目录○ 上页( 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 综上可知，如果在变量已分离方程（ 1）中， p( ) x ， q y( ) 是连续的，且q y() 0 ≠ ，那么（ 1）式两端积分后得到的关系 式（ 2），就用隐函数的形式给出了方程（ 1）的解， （ 2）就 叫做微分方程（ 1）的隐式解．又由于关系式（ 2）中含有任 意常数，因此（ 2）式所确定的隐函数是方程（ 1）的通解， 所以（ 2）式叫做微分方程（ 1）的隐式通解． 类似的，当 p x() 0 ≠ 时， （ 2）式所确定的隐函数 x = ψ ( ) y 也认为是方程（ 1）的解．