第十一章 第乌节高阶我性微今方程 (Higher linear differential equation) 一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 三、非齐次线性方程与 其对应齐次方程解的关系 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第六节 高阶线性微分方程 第十一章 (Higher linear differential equation) 一、二阶线性微分方程举例 二、二阶线性微分方程的解的结构 四、小结与思考练习 三、非齐次线性方程与 其对应齐次方程解的关系
一、二阶线性微分方程举例 例1质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上， 当重力与弹性力抵消时，物体处于平衡状态，若用手向 下拉物体使它离开平衡位置后放开，物体在弹性力与阻 力作用下作往复运动，阻力的大小与运动速度儿 成正比，方向相反.建立位移满足的微分方程 解：取平衡时物体的位置为坐标原点， 建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(). 南0 (1)自由振动情况.物体所受的力有： 弹性恢复力f=-kx(虎克定律) X 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例 1 质量为 m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上 , 力作用下作往复运动 , x x o 解 : 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开 , 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点 , 建立坐标系如图 . 设时刻 t 物位移为 x ( t). (1) 自由振动情况 . 弹性恢复力 物体所受的力有 : f kx = − (虎克定律 ) 成正比, 方向相反 .建立位移满足的微分方程
阻力R=-H dx 据牛顿第二定律得m d'x=-kx-udt dx d"x dx 即 d? +u+kx=0 这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程。 (2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力 psinot作用，则得强迫振动方程： d2x dx "dt"dt +kx=psin @t 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 据牛顿第二定律得 2 2 d d d d x x m kx t t =− − μ 阻力 t x R d d −= μ 2 2 d d 0 d d x x m kx t t + μ + = 这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程 。 即 (2) 强迫振动情况 . 若物体在运动过程中还受铅直外力 p t sin ω 作 用 ，则得强迫振动方程 : 2 2 d d sin d d x x m kxp t t t + += μ ω
可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二 阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的， 我们把这种方程称为二阶线性微分方程。其一般形式可 表示为 y"+P(x)y'+e(x)y=f(x), 其中的已知函数P(x),Q(x)称为微分方程的系数， 方程右端的函数f(x)称为方程的自由项. n线性微分方程的一般形式为 ym）+a(x)ym-+.+an-1(x)y'+an(x)y=f(x) 「f(x)丰0时，称为非齐次的方程 f(x)=0时，称为齐次的方程. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是 二 阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的， 我们把这种方程称为二阶线性微分方程。其一般形式可 表示为 y Pxy Qxy f x ′′ ′ + ( ) ( ) ( ), + = 其中的已知函数 P x( ) ，Q x( ) 称为微分方程的系数 ， 方程右端的函数 f ( ) x 称为方程的自由项 ． n 阶线性微分方程的一般形式为 )( )()()( 1 )1( 1 )( yxay xfyxayxan n n n + ++ − ′ =+ − " 时, 称为非齐次的方程 f x ≡ 0)( 时, 称为齐次的方程 . f x ≡ 0)(
二、线性齐次方程解的结构 定理1若函数1(x),y2(x)是二阶线性齐次方程 y"+P(x)y'+Q(x)y=0 的两个解，则y=C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数) 也是该方程的解.（叠加原理） 证：将y=C1y1(x)+C2y2(x)代入方程左边，得 [C1y"+C2y2]+P(x)[C1+C2y2] +Q(x)[C1y1+C2y2] =C[y1+P(x)y1+Q(x)y1] +C2[y2+P(x)y2+Q(x)y2]=0 证毕 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 )[( ] + P Cx y11 ′ + [)( ] + CxQ y11 + = 0 证毕 二、线性齐次方程解的结构 )(),( 21 若函数 xyxy 是二阶线性齐次方程 y′′ + P ′ + yxQyx = 0)()( 的两个解 , 也是该方程的解 . 证 : )()( 2211 将 = + xyCxyCy [ ] 11 代入方程左边, 得 C y′′+ 22 C y′′ 22 C y′ 22 C y ])()([ 11 1 1 = yC ′′ + P x ′ + Qy x y ])()([ 22 2 2 + C y′′ + P x y′ + xQ y (叠加原理 ) )()( 2211 则 y = C y + Cx y x ,( ) CC 21 为任意常数 定理1