难题上作些贡献，否则会劳而无功。另外有意义的数学研究课题 (包括现代数学发展中提出的一些数论问题)还是很多的，祖国“四 化”事业需要各方面的人才，有志于数学研究的青年不一定都去攻 这些经典的数论难题。当然无论进行哪个方向的研究，坚实的理 论基础和良好的解决问题的能力都是绝对需要的。 本书出版以来，很多同志热心地指出其中一些错误并提出一 些宝贵意见。这次再版之前，承蒙闵先生的夫人朱敬一先生及其 长子闵乐泉同志仔细阅读全书，提出很多宝贵意见。潘承彪同志 详细地审阅了全书，提出了很多中肯的修改意见。这一切都对提 高书的质量有极大的帮助。借此机会致以深深的谢意，并热诚欢 迎大家给本书提出批评指正。 严士健 1982年1月于北京师范大学
难题上作些贡献,否则会劳而无功。另外有意义的数学研究课题 (包括现代数学发展中提出的一些数论问题) 还是很多的,祖国“四 化”事业需要各方面的人才, 有志于数学研究的青年不一定都去攻 这些经典的数论难题。当然无论进行哪个方向的研究, 坚实的理 论基础和良好的解决问题的能力都是绝对需要的。 本书出版以来,很多同志热心地指出其中一些错误并提出一 些宝贵意见。这次再版之前, 承蒙闵先生的夫人朱敬一先生及其 长子闵乐泉同志仔细阅读全书, 提出很多宝贵意见。潘承彪同志 详细地审阅了全书,提出了很多中肯的修改意见。这一切都对提 高书的质量有极大的帮助。借此机会致以深深的谢意, 并热诚欢 迎大家给本书提出批评指正。 严士健 1982 年 1 月于北京师范大学 Ⅴ
第一版序 在师范大学与师范学院的数学系都有整数论这一门课，它的 试行教学大纲也由教育部在1955年制订并颁布执行了。但是由 于没有一本适当的教本或参考书，担任这一课程的教师在选择教 材与指定参考书方面都一直感到一定的困难。我和严士健同志先 后在师范大学讲授整数论这一门课。最初，大纲还未制订，我只好 采用I.M.BHHorpaOB著的（裘光明同志翻译）数论基础为主要 参考书，同时根据苏联的教学大纲，作了必要的补充。由于没有适 当的教本，我曾计划编写讲义，但受时间的限制，那时只写了一些 补充材料，而大部还是依照数论基础这本书来讲授。严士健同志 在接着担任这门课程的期间加以整理写成一本完整的讲义。最后 经过教育部的督促由我们依照师范学院整数论试行教学大纲，再 加以修改补充合写成这本书。 作为一个好的教本，我以为要具有三个条件。第一是教材要 选择得恰当，安排得自然。第二是说理要严格而清楚，深入而浅 出，也就是逻辑性与直观性都要强。第三是要引人入胜，使人有 “欲穷千里目，更上一层楼”之感，换句话说，问题的来源与发展都 要交代清楚，使读者能从少许见多许，增加他们目前学习与今后钻 研的兴趣。如果执此以绳眼前的这本书，我想会发现很多缺点的。 不过，严士健同志和我自己，结合几年来的教学经验，在写作中还 是朝着这个方向而努力的。虽然我们做得很不够，也希望采用这 本书的教师能结合自己的经验与特长，随时弥补。 这本书虽然主要是依照师范学院的整数论教学大纲而写成 的，但同时也照顾到综合大学数论这一课程的需要，增加了一些大 纲以外的材料。这些外加的材料都独立成节，特别用星号*加以
第 一 版 序 在师范大学与师范学院的数学系都有整数论这一门课, 它的 试行教学大纲也由教育部在 1955 年制订并颁布执行了。但是由 于没有一本适当的教本或参考书,担任这一课程的教师在选择教 材与指定参考书方面都一直感到一定的困难。我和严士健同志先 后在师范大学讲授整数论这一门课。最初,大纲还未制订, 我只好 采用 И.М.Виноградов著的 ( 裘光明同志翻译 ) 数论基础为主要 参考书,同时根据苏联的教学大纲, 作了必要的补充。由于没有适 当的教本,我曾计划编写讲义, 但受时间的限制, 那时只写了一些 补充材料,而大部还是依照数论基础这本书来讲授。严士健同志 在接着担任这门课程的期间加以整理写成一本完整的讲义。最后 经过教育部的督促由我们依照师范学院整数论试行教学大纲, 再 加以修改补充合写成这本书。 作为一个好的教本, 我以为要具有三个条件。第一是教材要 选择得恰当, 安排得自然。第二是说理要严格而清楚, 深入而浅 出,也就是逻辑性与直观性都要强。第三是要引人入胜, 使人有 “欲穷千里目, 更上一层楼”之感, 换句话说, 问题的来源与发展都 要交代清楚,使读者能从少许见多许, 增加他们目前学习与今后钻 研的兴趣。如果执此以绳眼前的这本书,我想会发现很多缺点的。 不过,严士健同志和我自己, 结合几年来的教学经验, 在写作中还 是朝着这个方向而努力的。虽然我们做得很不够, 也希望采用这 本书的教师能结合自己的经验与特长,随时弥补。 这本书虽然主要是依照师范学院的整数论教学大纲而写成 的,但同时也照顾到综合大学数论这一课程的需要, 增加了一些大 纲以外的材料。这些外加的材料都独立成节, 特别用星号 * 加以 Ⅵ
标志。在写作中，我们还参考了华罗庚先生的数论导引，特在此致 谢。本书对于我国古代与当今数学家在数论方面的成就以及前苏 联和其他国家的数学家的贡献也尽可能作了一定程度的介绍，不 够全面之处，还希望读者原谅。最后，希望读者，尤其是全国各师 范学院采用这本书的老师们能对本书多提意见，以便将来能够根 据这些意见把它修改成更合乎理想，更合乎教学需要的一本书。 闵嗣鹤 1956年10月于北京大学
标志。在写作中,我们还参考了华罗庚先生的数论导引, 特在此致 谢。本书对于我国古代与当今数学家在数论方面的成就以及前苏 联和其他国家的数学家的贡献也尽可能作了一定程度的介绍, 不 够全面之处,还希望读者原谅。最后, 希望读者, 尤其是全国各师 范学院采用这本书的老师们能对本书多提意见, 以便将来能够根 据这些意见把它修改成更合乎理想,更合乎教学需要的一本书。 闵嗣鹤 1956 年 10 月于北京大学 Ⅶ
目录 第一章整数的可除性.1 §1整除的概念.带余数除法.1 §2最大公因数与辗转相除法.4 S3整除的进一步性质及最小公倍数.9 §4质数算术基本定理.14 §5函数[x】,{x}及其在数论中的一个应用.19 第二章不定方程. . 24 §1二元一次不定方程.25 §2多元一次不定方程.32 §3勾股数.34 *§4费马问题的介绍.37 第三章同余.48 S1同余的概念及其基本性质.48 §2剩余类及完全剩余系.54 §3简化剩余系与欧拉函数.58 §4欧拉定理费马定理及其对循环小数的应用.6 §5公开密钥—RSA体制. 64 *S6三角和的概念.69 第四章同余式.74 §1基本概念及一次同余式.74 §2孙子定理.76 §3高次同余式的解数及解法.80 §4质数模的同余式.84 第五章二次同余式与平方剩余 . 88 §1一般二次同余式.88 §2单质数的平方剩余与平方非剩余.91
目 录 第一章 整数的可除性 . 1 §1 整除的概念·带余数除法 . 1 §2 最大公因数与辗转相除法 . 4 §3 整除的进一步性质及最小公倍数 . 9 §4 质数·算术基本定理 . 14 §5 函数[ x ] , { x}及其在数论中的一个应用 . 19 第二章 不定方程 . 24 §1 二元一次不定方程 . 25 §2 多元一次不定方程 . 32 §3 勾股数 . 34 J *§4 费马问题的介绍 . 37 第三章 同余 . 48 §1 同余的概念及其基本性质 . 48 §2 剩余类及完全剩余系 . 54 §3 简化剩余系与欧拉函数 . 58 §4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用 . 61 §5 公开密钥———RSA 体制 . 64 *§6 三角和的概念 . 69 第四章 同余式 . 74 §1 基本概念及一次同余式 . 74 §2 孙子定理 . 76 §3 高次同余式的解数及解法 . 80 §4 质数模的同余式 . 84 第五章 二次同余式与平方剩余 . 88 §1 一般二次同余式 . 88 §2 单质数的平方剩余与平方非剩余 . 91 Ⅰ
§3勒让德符号.93 §4前节定理的证明. 96 §5雅可比符号.99 §6合数模的情形 .104 ”§7把单质数表成二数平方和.107 ·§8把正整数表成平方和 .113 第六章原根与指标.120 §1指数及其基本性质 ,:, 120 §2原根存在的条件 123 §3指标及n次剩余.130 §4模2”及合数模的指标组.138 §5特征函数.142 第七章连分数.149 §1连分数的基本性质.149 §2把实数表成连分数.153 §3循环连分数.159 ·§4二次不定方程 . 162 第八章代数数与超越数.167 §1二次代数数.167 §2二次代数整数的分解 .173 §3n次代数数与超越数 179 §4e的超越性.181 S5元的超越性.187 第九章数论函数与质数分布.193 §1可乘函数.193 §2π(x)的估值.199 §3除数问题与圆内格点问题的介绍.204 §4有关质数的其他问题.210 附录 .215
§3 勒让德符号 . 93 §4 前节定理的证明 . 96 §5 雅可比符号 . 99 §6 合数模的情形 . 104 *§7 把单质数表成二数平方和 . 107 *§8 把正整数表成平方和 . 113 第六章 原根与指标 . 120 §1 指数及其基本性质 . 120 §2 原根存在的条件 . 123 §3 指标及 n 次剩余 . 130 §4 模 2 α 及合数模的指标组 . 138 §5 特征函数 . 142 第七章 连分数 . 149 §1 连分数的基本性质 . 149 §2 把实数表成连分数 . 153 §3 循环连分数 . 159 *§4 二次不定方程 . 162 第八章 代数数与超越数 . 167 §1 二次代数数 . 167 §2 二次代数整数的分解 . 173 §3 n 次代数数与超越数 . 179 §4 e 的超越性 . 181 *§5 π的超越性. 187 第九章 数论函数与质数分布 . 193 §1 可乘函数 . 193 §2 π( x )的估值 . 199 *§3 除数问题与圆内格点问题的介绍 . 204 §4 有关质数的其他问题 . 210 附录 . 215 Ⅱ