e书联盟电子书下载www.book118.com 目 录 第一章绪论 第一节 计算方法的研究对象和待点： (1) 第二节误差的来源和基本概念. 第三节 数值计算的若干原则： (5) 第四节典型例题分析. (7) 复习思考颗*. 习题 (10 数值实验一. (11) 第二章非线性方程求解. 根的隔离与二分法 (14 第一节洪代法。 (16 第三节 生模法及其形，++，42 第四节 解非线性方程组的牛顿法 第五节 骋因子法. (27) 第六节典整例题分析 30y 复习思考题. (34 数值实验二 (35 第三章线性方程组解法. (38) 第节消去法， 4〔38 第二节 矩阵分解法. 第三特 方程组的性态和条件数 (50】 第四节 洪代法， 第五节 典型例题分析 (62 复习思考题. 习题三 (65) 数值实验三. (66 第四章橘值法 (69 拉格朗日插值 第二节 牛顿插值公式 (74) 第三节 埃尔米特插值 第回节 分段多项式插值 第五节 三次样条插值 (84 第六节 典型例题分析 .(90） ·1
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e书联盟电子书下载w.book118.com 复习恩考题.(95》 数值实验四.。 (97 第五章曲线拟合法 (99 第-节最小二乘法原理和多项式拟合.(99) 第二节 般最小二乘拟合 (102 第三节正交多项式线拟合. (107) 第四节典形剖断分折 复习思考题. (114 习颖五. (111 教值实哈五， (115) 第六章 数值积分和数值微分 (117 第一节数值积分的基本概念， (117 第一节 牛顿一柯特斯公式 (120) 第三节 龙贝格求积法. (126 第四节高斯公式.。 (130 第五节 数值微分 (135 (138 复习思考题 (141) 习题六 (142 (113 第七意堂微分方程数俏醒法，. (145) 第 欧拉方法 (115 第二节 龙格一库塔决 (149) 第三节线性多步法. (153 第四节 一阶方程组与高阶方程初值问额. (159) 第万节收傲性与稳定性： (160 第六节 边值问题的数值解法 (162 第七节典型例题分析： (167) 复习恩考题. (170) 习题七 (170 数值实验七. (171 跗最一 自我检晒 (173 附录二 参考程序 (175 一、振的搜紫 .175 二、代数方程求根的劈因子法 176 三、解线性方程组的列主元素法 (180】 四、三次样条插值的三转角法· t181 五、外推加速求积法 (13 。2
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e书联盟电子书下载www.book118.com 六，变步长四阶龙格一库塔法.（们35） 部分习题答案.（们88） 参考文献 .(192 ·3·
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e书联盟电子书下载ww.bo6k118.e6m 第一章绪论 本章简要介绍计算方法的研究对象、内容和特点，讨论误差的基本概念，并且提出在数 值计算中应当普遍遵循的若干原则， 第一节计算方法的研究对象和特点 计算方法是现代数学的一个重要分支，它是在解决各种科学技术问题的过程中逐渐形 成的 门学科。计算机的问世和广泛使用，极大地则激和促进了该学科的进一步发展.目前。 科学计算方法已发展成为与科学理论、科学试验相并列的第三种科学方法，有着极为广泛的 应用。 利用计算机解决实际科学计算问题，一般需要经过以下几步骤： 夫际问题一数学模司一计%方安一表序设计一上我计弃结果 上述整个过程都可以看作是应用数学的任务，如果细分的话，对实际问题应用有关科学 知识和数学理论建立数学模型的过程，通常属于应用数学的研究范晴：根格数学模型分析确 定计算求解的方法并利用计算机算出结果的过程，则是计算数学的任务，也就是计算方法要 研究的对象，因此，慨括地说，计算方法的内容，就是研究求解各种数学问题的数值方法及其 理论，并且将方法在计算机上实现，求出问题的数值解。 由计算方法的研究内容可以看到，计算方法的一个明显特点是与计算机的使用密切结 合，具有实际试验的高度拉术性。因此，除学习课本上的理论知识外，还要注意程序编制和上 机计算等环节的学习和实践。 就理论知识而言，将重点介绍一些最基本，最典型的数值方法，主要包括数值逼近、数值 代数、数值微积分和微分方程数值解法等。值得指出的是，计算方法并不是各种数值方法的 简单罗列与堆积，而是有着自身的理论体系，其每都分内容都有如下结构： 计方祛（铁义） 一公式、算 计算方法 【理论分析一住、定牡，误拉分析等 其绝大部分方法都具有近似性，而其理论又具有严密的科学性方法的近似性正是建立在理 论的严密性基础上因此，根据计算方法的这一特点，在学习中不但要章握和使用算法，还要 适当重视必要的理论分析，这是计算结果可靠性的保证。 例1计算下式积分的值： 1=e-xedr(m=0l,.,9) (1-1) 解直接积分得 ·1
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e书联盟电子书下载www.book118.com 1。=ee'dz=1-e1 再由分部积分法可建立递推公式 。=1-n。- (g=1.2,.,9) 1-2y 实际计算中，取【。=1-e1≈0.6321会1a,用式(1-2)递推，可得1.的近似值1.，即 1,-1-nl- (n=1,2,9） (1-3) 计算结果见表1-1. 表1-1 计算结果】. 冻确值1。 计算结梨。 准稀信。 +0.6321 0.63212 5 ↓0.1480 0.1d553 0.3675 0.36787 0.1120 0.12680- 0.2642 0.26424 0.218 0.】1238 0.2071 0.20727 -0.7280 0.10093. 0.1704 0.17089" 9 7.5520 0.09161■ 上述计算公式与每步计算过程都是正确的，因此计算结果1，似乎应当是可靠的，但是 对比表中【的准确值可以看到，计算所得1，、1，严重失真.可见，用一个理论上正确的公武进 行数值计算，也不一定能得到可靠的数值结果。那么，为什么计算结果会出现谬误呢？下面 对其进行误差分析。 由于实际计算中是以带有误差的1代督1进行计算，虽然误差-J,一1，≈0.2×10 很小，但用式(1-3)计算时，由引起以后各步的误差6，=1。一1满足关系式 =1.-1.=1-nl.-)-(1-n1-1) =-n(l1-1n1)=-e,-1 由此可得 e.=(-1)"n】c6 该式说明计算所得的1.的误差为初始的n!倍。例知，n心8时，1：的误差=8！≈0.8064， 竟比1，的准骑值约大7倍。因此，计算所得的1。完全不能近似1了。 从上述例子可以看到，即便使用正确的公式，也不能盲目相信其数值计算结果。对算法 进行必要的理论分析是十分重要的。 第二节误差的来源和基本概念 一、误差的来源 在用科学计算方法解快实际问题的过程中，会通到各种各样的误差，其来源主耍有四个 方面：①)据实际问题建立的数学模型，一般都要舍弃一些次要因素，进行简化和近似，由此 会产生模型误差。②数学慎型中常包含某些参数，需要通过观测确定，这时会产生观测误差 或参数误羞，③数学模型确定后，带要用某种数值方法进行计算求解，而许多数值方法都是 近似方法，即使计算过程绝对准确，计算的最终结果与数学模與的真解还会有误差，这就岩 .2
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