主要内容 ·欧拉方法（矩形积分） ·梯形法则（梯形积分） ·改进的欧拉方法 ·预报一校正公式 ·龙格一库塔方法
主要内容 • 欧拉方法（矩形积分） • 梯形法则（梯形积分） • 改进的欧拉方法 • 预报—校正公式 • 龙格—库塔方法
考虑一阶常微分方程的初值问题： y dx =f(x,y)x∈[a,b] y(a)=yo 只要f化，y)在a,b]×R上连续，且关于y满足李普 希茨(Lipschit讴)条件，即存在与x,y无关的常数L使 If(x,y)-f(x,y,)川≤Lly-y,| 对任意定义在[a,b]上的y)和y2c)都成立，则上 述初值问题的连续可微解y(x)在4，b1上存在且唯一
考虑一阶常微分方程的初值问题: = = 0 ( ) ( , ) [ , ] y a y f x y x a b dx dy 只要 f (x, y) 在[a, b] R1 上连续，且关于 y 满足李普 希茨(Lipschitz )条件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 [a, b] 上的 y1 (x) 和 y2 (x) 都成立，则上 述初值问题的连续可微解y(x)在[a, b] 上存在且唯一。 | ( , ) ( , )| | | 1 2 1 2 f x y − f x y L y − y
要计算出解函数y()在一系列节点a=x,<x1<.<x=b 处的近似值y:≈y(x:) (i=1,.,m) 节点间距h,=x+-x;(i=0,.,1-1)为步长，通常采用等距节点， 即取h,=h(常数)。 y(x =f(x,y)x∈[a,b dx y(a)=yo 微分方程两边二 同时积分 等价 X。X y(x)=v(x)+f(t,y(t))dr
( ) 0 y x y(x) 0 x 1 x ( ) 0 y x y(x) 0 x 1 x 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<.< xn= b 处的近似值 y y(x ) (i 1, . ,n) i i = 节点间距 为步长，通常采用等距节点， 即取 hi = h (常数)。 ( 0, . , 1) hi = xi+1 − xi i = n − = = 0 ( ) ( , ) [ , ] y a y f x y x a b dx dy y x y x f t y t dt x x = + 0 0 ( ) ( ) ( , ( )) 同时积分 等价 微分方程两边
问题： ①y(x)为未知的、待求的函数 (2)y'(x)=f(x,y)为y(x)的函数，因此实质上堤未知的 y'(x) y()=f0x, y(xo) X。X y(x)=x(x)+f(t,y(t))d
为 的函数，因此实质上也是未知的 （） 为未知的、待求的函数； 问题： (2) ( ) ( , ) ( ) ( ) y x f x y y x y x = 1 ( ) 0 y x y(x) 0 x 1 x y x y x f t y t dt x x = + 0 0 ( ) ( ) ( , ( )) y(x) = f (x, y)
欧拉方法 积分f(t,y(t)d y'(x) 入''()a 选用左矩形公式 =f(uy()》 ≈(x,-x)y'(x) hy'(x) =hf(x,y(x)) XX hf(xo,yo) y(x,)=y(x)+hf(x2 y)
( ) 0 y x y(x) 0 x 1 x 欧拉方法 选用左矩形公式 积分 1 0 ( , ( )) x x f t y t dt ( ) ( ) ( ) ( , ( )) ( ) 0 1 0 0 1 0 1 0 hy x x x y x f t y t dt y t dt x x x x = − = ( , ) ( , ( )) 0 0 0 0 hf x y hf x y x = = ( ) ( ) ( , ) 1 0 0 0 y x = y x + hf x y