第十一章 第四节全般分方程 (Total differential equation) 一、全微分方程 二、积分因子法 三、用积分因子法解一阶线性方程 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第四节 全微分方程 第十一章 (Total differential equation) 一、全微分方程 二、积分因子法 三、用积分因子法解一阶线性方程 四、小结与思考练习
一、全微分方程 若存在(x,y)使du(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy 则 P(x,y)dx+O(x,y)dy=0 ① 为全微分方程（又叫做恰当方程) 判别：P,⑨在某单连通域D内有连续一阶偏导数，则 ①为全微分方程— aP8 ,(x,y)∈D 求解步骤： ∂yo 1.求原函数u(化，y) 方法1利用积分与路径无关的条件（见9.3节）， 方法2凑微分法； 2.由du=0知通解为u(k,y)=C. 2009年7月27日星期一 2 目录○ 上页>( 下页 、返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数 , , x Q y P ∂ ∂ = ∂ ∂ ① 为全微分方程 x y),( ∈ D 求解步骤 : 1. 求原函数 u (x, y ) 则 方法 1 利用积分与路径无关的条件 ( 见9. 3 节). 方法 2 凑微分法 ; 2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C . 一、全微分方程 若存在 yxu ),( 使 xu y = P x y + xQx y d),(d),(),(d y 则 P x y + xQx y y = 0d),(d),( 为全微分方程 ( 又叫做恰当方程 ) ①
例1求解 (自学课本例1) (5x4+3xy2-y3)dx+(3x2y-3xy2+y2)dy=0 解：因为ay P=6xy-3y二，故这是全微分方程 8x 取0=0,0=0，则有 u(x.)=fo5x4 dx+(3x2y-3xy2+y2)dy =x+3 y↑(x,y) 因此方程的通解为 3y-xy 3 0(x,0) 2 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 y x y),( o x 0d)33(d)35( 324 2 22 yyyxyxxyyxx =+−+−+ 解 : 因为 = ∂ ∂ y P 2 − 36 yyx , x Q ∂ ∂ = 故这是全微分方程. ,0,0 取 = yx 00 = xxyxu x d5),( 0 4 ∫ = 则有 yyyxyx y d)33( 0 2 22 ∫ +−+ 5 = x 22 2 3 + yx 3 − yx 3 3 1 + y 因此方程的通解为 =+−+ Cyyxyxx 33225 3 1 2 3 x )0,( 例1 求解 （自学课本 例 1 ）
2求x+2)dr-dy=0(学生练 解法1： .Op 1 00 ay 2 8x ,这是一个全微分方程 取=1，乃=1，则有 m-+a- 片 _y +2 (x,y) 故原方程的通解为 x2-+1 =C1 x 2 如， 或 -士=c(t*c=G别 X 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 0d 1 d)( 2 y =−+ x x x y x 解法 1： 2 1 y x P = ∂ ∂ ∵ , ∴ 这是一个全微分方程 . x Q ∂ ∂ = 0 0 取 x y =1 1 , = , 则有 2 1 1 (, ) d x uxy x x x ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 d y y x ⎛ ⎞ + −⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ 1 1 1 2 2 x x x ⎡ ⎤ = − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 y y x ⎡ ⎤ + −⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 1 2 2 = x 1 x − 1 2 + y x − 1 x + 1 1 2 2 2 y x x = − + 故原方程的通解为 2 1 1 1 2 2 y x C x − + = y),( （学生练习） y x o x (1,1) ( ,1) x 或 2 1 1 2 1 2 y x C C x C ⎛ ⎞ − = ⎜ ⎝ = − ⎟ ⎠ 其中 例2 求
例2求 (x+ 2)dx-dy=0 解法2：，P-=,这是一个全微分方程. ay x2 Ox' 用凑微分法求通解.将方程改写为 xdx-xdy-ydx=0 x2 即 a(22)-d()-0咸d(22-)-0 故原方程的通解为)-式C 2009年7月27日星期一 5 目录○ 、上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 0d 1 d)( 2 y =−+ x x x y x 解法2: 2 1 y x P = ∂ ∂ ∵ ∴ 这是一个全微分方程 . 用凑微分法求通解 . 将方程改写为 0 dd d 2 = − − x xyyx xx 即 ( ) ( ) ,0d 2 1 d 2 =− x y x ( 故原方程的通解为 ) 0 2 1 d 2 =− x y 或 x C x y x =− 2 2 1 , x Q ∂ ∂ = 例2 求