第十一章 第七节常系数齐欢孩性微分方程 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation) 一、常系数齐次线性微分方程定义 二、常系数齐次线性方程解法 三、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 1 目录 。上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第七节 常系数齐次线性微分方程 第十一章 (Constant coefficient homogeneous linear differential equation) 一、常系数齐次线性微分方程定义 二、常系数齐次线性方程解法 三、小结与思考练习
一、常系数齐次线性微分方程定义 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y”+py'+y=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y"+py'+qr=f(x) n阶常系数线性微分方程的标准形式 y+ay++q+a,y=f(x) 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、常系数齐次线性微分方程定义 ′′ + ′ + qyypy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 ′ ′ + ′ + = xfqyypy )( 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 ( ) ( 1) 1 1 ( ) n n n n y ay a y ay f x − − + ++ + = " ′ n 阶常系数线性微分方程的标准形式
二、二阶常系数齐次线性方程解法 基本思路： 求解常系数线性齐次微分方程 转化 求特征方程（代数方程）之根 2009年7月27日星期一 3 目录 (上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 二、二阶常系数齐次线性方程解法 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程 (代数方程 )之根 转化
二阶常系数齐次线性微分方程： y”+py+9y=0(p,q为常数) ① 因为r为常数时，函数ex和它的导数只差常数因子， 所以令①的解为y=ex(r为待定常数)，代入①得 (r2+pr+q)e"x=0 r2+pr+=0 ② 称②为微分方程①的特征方程，其根称为特征根， 1.当p-4q>0时，②有两个相异实根1,2，则微分 方程有两个线性无关的特解：=ehx,y2=e2x 因此方程的通解为y=C1e1x+C2e2x 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 ′′ + ′ + = qpyqypy 为常数),(0 xr = ey ( 0) 2 =++ xr e qprr 0 2 qrpr =++ 和它的导数只差常数因子 , 代入①得 称②为微分方程①的特征方程 , 1. 当 04 2 qp >− 时 , ②有两个相异实根 , 21 r,r , 1 方程有两个线性无关的特解 1 : r x = ey , 2 2 r x = ey xrxr eCeCy 1 2 因此方程的通解为 1 += 2 ( r 为待定常数 ), xr 因为 r 为常数时,函数 e ① 所以令①的解为 ② 则微分 其根称为特征根 . 二阶常系数齐次线性微分方程 :
2.当p2-4q=0时，特征方程有两个相等实根1=2 =号，则微分方程有一个特解片=ehx, 设另一特解y2=y1u(x)=e1u(x) (u()待定) 代入方程得： ex[(u”+2i+r2u)+p(t+片w)+qu]=0 W"+(21+p)u'+(r2+ph+9)u=0 注意片是特征方程的重根 u"=0 取u=x,则得y2=xe1x,因此原方程的通解为 y=(C1+C2x)enx 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 04 2 qp =− 时 , 特征方程有两个相等实根 21 = rr 则微分方程有一个特解 )( 12 设另一特解 y = y xu ( u (x) 待定 ) 代入方程得 : [ 1 xr e )( 1 )2( + ′ + urup + uq ] = 0 2 11 ′′ + ′ + ururu 1 注意 r 是特征方程的重根 u ′′ = 0 取 u = x , 则得 , 1 2 r x = exy 因此原方程的通解为 r x exCCy 1 )( += 21 , 2 − p = . 1 1 r x = ey )( 1 xuer x = ()2( 0) 1 2 ′′ 1 ++ ′ 1 uqrprupru =+++ 2. 当