第十一章 第)、节常系数非齐次孩性微分方程 (Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation) 一、f(x)=exPm(x)型 二、f(x)=e2x[B(x)cos@x+n(x)sin @x]型 三、欧拉方程 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第八节 常系数 非齐次线性微分方程 第十一章 (Constant coefficient non-homogeneous linear differential equation) 三、欧拉方程 () () x m fx e P x λ = 型 xxPexf l x ω λ = cos)([)( ( )sin ] Pn + x x ω 型 一、 四、小结与思考练习 二
二阶常系数线性非齐次微分方程： y”+py+qy=f(x)（p,q为常数) ① 根据解的结构定理，其通解为 yy+吨 齐次方程通解非齐次方程特解 求特解的方法一待定系数法 根据f(x)的特殊形式，给出特解y*的待定形式， 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数· 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 ′′ + ′ + yqypy = f x)( qp 为常数),( 二阶常系数线性非齐次微分方程 : 根据解的结构定理 , 其通解为 y = Y + y * 齐次方程通解 非齐次方程特解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 , 给出特解 y *的待定形式 , 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . ① — 待定系数法
一、f(x)=e2xPnm(x)型 2为实数，Pm(x)为m次多项式. 设特解为y*=e2Q(x),其中Q(x)为待定多项式， y*'=e2x[2Q(x+'(x)] y*"=e2x[29(x+2元g'(y)+"] 代入原方程，得 Q"(x)+(21+p)0'(x)+(2+p元+q)Q(x)=Pm(x) (1)若入不是特征方程的根，即22+p几+q≠0，则取 2(c)为m次待定系数多项式Qm(x),从而得到特解 形式为y*=eQm(x): 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、 = λ x m xPexf )()( 型 λ 为实数 , P x)( m 为 m 次多项式 . xQe )([ x ′′ λ + λ + ′ xQp )()2( ( ])() 2 λλ +++ xQqp m xPe )( λ x = 设特解为 xQey ,)(* λ x = 其中 为待定多项式 xQ )( , xQxQey ])()([* x ′ = λ + ′ λ ])()(2)([* 2 xQxQxQey x ′′ = λ + λ ′ + ′′ λ 代入原方程 , 得 Q′′ x)( (1) 若 λ 不是特征方程的根, ,0 2 即 λλ qp ≠++ 则取 xQ ),( m 从而得到特解 形式为 xQey .)(* m λ x = + λ + ′ xQp )()2( ( )() 2 λλ +++ xQqp P x)( = m Q (x) 为 m 次待定系数多项式
Q"(x)∈(2+卫2'(x)22+p元+g0(x)=Pm(x) (2)若2是特征方程的单根，即 2+p2+q=0,22+p≠0， 则Q'(x)为m次多项式，故特解形式为y*=x9m(x)e2x (3)若入是特征方程的重根，即 22+p元+q=0,22+p=0, 则Q"(x)是m次多项式，故特解形式为y*=x2m(x)e2x 小结对方程①，当入是特征方程的k重根时，可设 特解y*=xQnm(x)ex(k=0,1,2) 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程. 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 (2) 若 λ 是特征方程的单根 , ,0 2 λλ qp =++ λ + p ≠ ,02 则 Q′ x)( 为 m 次多项式 , 故特解形式为 x m exQxy λ = )(* (3) 若 λ 是特征方程的重根 , ,0 2 λλ qp =++ λ + p = ,02 则 Q′′ x)( 是 m 次多项式 ,故特解形式为 x m exQxy λ )(* 2 = 小结 对方程① , = kexQxy = )2,1,0()(* x m k λ 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . Q′′ x)( + λ + Qp ′ x)()2( P x)( + ( ) x)( = m 2 λλ ++ Qqp 即 即 当 λ 是特征方程的 k 重根 时 ,可设 特解
例1求方程y"-2y'-3y=3+1的一个特解.（补充题） 解：本题九=0，而特征方程为r2-2r-3=0, 入=0不是特征方程的根. 设所求特解为y*=b0x+b,代入方程： -3bx-3b-2b=3x+1 比较系数，得 ∫-3b=3 1-26-36=1一60=-1,4= 3 于是所求特解为*=-x+3(自行练习课本例1) 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 求方程 ′′ − ′ − = xyyy +1332 的一个特解. ,032 2 解 : 本题 而特征方程为 rr =−− 不是特征方程的根 . 设所求特解为 ,* 10 y = b x + b 代入方程 : 13233 − b x − − bb 010 = x + 比较系数, 得 ⎩ ⎨ ⎧ 33 − b 0 = 132 − − bb 10 = 3 1 ,1 0 bb 1 =−= 于是所求特解为 . 3 1 * xy +−= λ = 0 λ = ,0 例 1 （补充题 ） （自行练习课本例 1 ）