第十一章 第五节可降阶的高阶微分方程 (The differential equations able to reduce order) 一、ym)=f(x)型的微分方程 二、y”=(x,y)型的微分方程 三、y”=∫(y,y)型的微分方程 四、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第五节 可降阶的高阶微分方程 第十一章 (The differential equations able to reduce order) 一、 = ( ) ( ) n y fx 型的微分方程 二、 y f xy ′′ ′ = (, )型的微分方程 三、 y′′ ′ = f yy (, )型的微分方程 四、小结与思考练习
一、ym=f(x)型的微分方程 令z=ym=,则d=ym四=fx),因此 dx z=∫f(x)dx+C 即 y(-1)=ff(x)dx+C 同理可得ym-2=[f(x)dx+C]dx+C2 [ff(x)dx ]dx +Cx+C2 依次通过n次积分，可得含n个任意常数的通解. 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、 型的微分方程 = ( ) ( ) n y f x 令 , − )1( = n yz )( d d n y x z 则 = 因此 1 = d)( + Cxxfz ∫ 即 1 )1( d)( Cxxfy n = + ∫ − 同理可得 [ ] 2 )2( y d Cx n = + ∫ − 1 d)( + Cxxf ∫ [ ]d x ∫ = d)( xxf ∫ 依次通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 . = f x ,)( + +CxC 21
例1求解y”=e2x-cosx.(补充题) 解：y”=∫(e2x-cosx )dx+-C e2x-sinx+Ci _1e2x+cosx+Cix+C2 4 1 y 2x e+sinx+Cjx2+C2x+C3 8 (此处GG) 自学课本例1 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 .cos 2 xey x 求解 ′′′ −= 解: ( ) 1 2 cos Cxdxey x ′′ −= + ′ ∫ 1 2 sin 2 1 Cxe x +−= ′ x ey 2 4 1 ′ = x ey 2 8 1 = ( ) 11 2 1 此处 = CC ′ + sin x 2 1 + xC C32 + C x + + cos x C21 + C′x + 例 1 （补充题） 自学课本 例 1
例2质量为m的质，点受力F的作用沿x轴作直线 运动，设力F仅是时间t的函数：F=F(心，在开始时刻 t=0时F(O)=F.,随着时间的增大，此力F均匀地减 小，直到t=T时F(T=0.如果开始时质点在原点，且 初速度为0，求质，点的运动规律. 解：据题意有 片 -I- x=0=0, dil-o =0 Tt 对方程两边积分，得 2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 ,0 x t = 0 = 运动 , 在开始时刻 ,)0( F = F0 随着时间的增大 , 此力 F 均匀地减 直到 t = T 时 F( T) = 0 .如果开始时质点在原点, 解 : 据题意有 )( d d 2 2 tF t x m = t F o T 0 (1 ) F0 F = t F T = − 0 d d t = 0 = t x )1( 0 T t F − t = 0 时 设力 F 仅是时间 t 的函数: F = F ( t) . 小 , 初速度为0, 求质点的运动规律. 且 对方程两边积分, 得 0 (1 ) F t m T = − 例2 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 ox 轴作直线
dt m 2)+C dx Fo(t dx 利用初始条件 物-0得G=0于发 d_(- 12 di 1 m T 两边再积分得x= 2 67)+2 再利用x1=0=0得C2=0,故所求质点运动规律为 r- 2m (0≤t≤T) 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 1 2 0 ) 2 ( d d C T t t m F t x +−= 利用初始条件 得 C1 = ,0 于是 ) 2 ( d d 2 0 T t t m F t x −= 两边再积分得 2 32 0 ) 62 ( C T tt m F x +−= 再利用 0 x t = 0 = ,0 得 C 2 = 故所求质点运动规律为 ) 3 ( 2 3 0 2 T t t m F x −= 0 d d t = 0 = t x (0 ) ≤ t T ≤