样条插值与最小二乘拟合 三次样条插值背景 三次样条插值的分类 三次样条插值函数的构造 ·最小二乘拟合意义 ·矛盾方程组的最小二乘解 。多项式最小二乘拟合方法
样条插值与最小二乘拟合 • 三次样条插值背景 • 三次样条插值的分类 • 三次样条插值函数的构造 • 最小二乘拟合意义 • 矛盾方程组的最小二乘解 • 多项式最小二乘拟合方法
三次样条插值背景 >分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够 理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求 高，如：流线型机翼、船体设计 >设想这样一插值曲线：次数不高于3次，整 个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插 值
三次样条插值背景 ➢分段低阶插值，收敛性好，但光滑性不够 理想。在工业设计中，对曲线光滑性要求 高，如：流线型机翼、船体设计 ➢设想这样一插值曲线：次数不高于3次，整 个曲线2阶连续导数，称为三次样条函数插 值
§4.6三次样条插值 定义4.6.1设a=x<x1<<xn=。三次样条函数S(x)∈C2[,b1, 且在每个x,xl上为三次多项式。若它同时还满 足S(x)=f(x,(i=0,.,m),则称它为f的三次样条插值函数。 定义的另一种形式：设函数f(x)是区间α，b]上的二次连续可微函数， 在区间a,b]上给出一个划分 △：a=x。<x<.<xm1<xn=b 如果函数s(x)满足条件 ①s(x)=f(x,)(j=0,1,2,n)月 (2)在每个小区间[x,-,x,](j=1,2,n)上s(x)是不超过 三次多项式： (3)在开区间(a,b)上s(x)有连续的二阶导数， 则称s(x)为区间[a,b]对应于划分△的三次样条函数
§4.6 三次样条插值 定义4.6.1 设 。三次样条函数 , 且在每个 上 为 三次多项式 。 若它同时还满 足 ，则称它为 f 的三次样条插值函数。 a = x0 x1 . xn = b ( ) [ , ] 2 S x C a b [ , ] xi xi+1 S(x ) f (x ), (i 0, . ,n) i = i = 则称 为区间 对应于划分 的三次样条函数。 在开区间（ ）上 有连续的二阶导数 三次多项式； 在每个小区间 上 是不超过 （） 如果函数 满足条件 ： 在区间 ， 上给出一个划分 定义的另一种形式：设函数 是区间 上的二次连续可微函数， = = = = = − − ( ) [ , ] (3) , ( ) , (2) [ , ]( 1,2,., ) ( ) 1 ( ) ( ) ( 0,1,2,. ); ( ) . [ ] ( ) [ , ] 1 0 1 1 s x a b a b s x x x j n s x s x f x j n s x a x x x x b a b f x a b j j j j n n
样条插值与最小二乘拟合 ·三次样条插值背景 。 三次样条插值的分类 。 三次样条插值函数的构造 最小二乘拟合意义 ·矛盾方程组的最小二乘解 ·多项式最小二乘拟合方法
样条插值与最小二乘拟合 • 三次样条插值背景 • 三次样条插值的分类 • 三次样条插值函数的构造 • 最小二乘拟合意义 • 矛盾方程组的最小二乘解 • 多项式最小二乘拟合方法
三次样条插值的分类 设三次样条函数s(x)在每个子区间[x,x,]上有表达式 s(x)=s(x)=a x+bx'+cx+d xE(xx).j1.2.n 其中a,b,c,d,为待定常数，插值条件为 人人 0s(x)=fx)=0,1,nWnt1个条件 (2)(n-1)内节点处连续及光滑性条件： s(x,-0)=s(x,+0) S'(x,-0)=s(x,+0)j=1,2,n-1 s"(x,-0)=s"(x,+0) 3n-3个条件
三次样条插值的分类 1,2,., 1 ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) (2) ( 1) 1 ( ) ( ) 0,1,., , , . ( ) ( ) ( , ), 1,2. ( ) [ , ] 1 3 2 1 = − − = + − = + − = + − = = = = + + + − = − j n s x s x s x s x s x s x n s x f x j n a b c d s x s x a x b x c x d x x x j n s x x x j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 内节点处连续及光滑性条件： （） （ ）； 其中 为待定常数，插值条件为： 设三次样条函数 在每个子区间 上有表达式 n+1个节点 n各子区间 n+1个条件 3n-3个条件