随机变量的函数设X是一随机变量，g()是已知的连续函数， 则Y也是一个随机变量，当X取值x时，Y取值y=g(x). 称Y=g(X)为随机变量X的函数. 第五节随机变量的函数的分布 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 重点：分布函数法；公式法 问题：已知随机变量X的概率分布，求Y=g(X)的概率分布·
一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 重点：分布函数法；公式法 第五节 随机变量的函数的分布 随机变量的函数 称 Y = g( X ) 为随机变量 X 的函数 . 则Y 也是一个随机变量，当X 取值 x时，Y 取值 y g(x ). 设 X 是一随机变量，g()是已知的连续函数， 问题：已知随机变量 X 的概率分布，求 Y g(X )的概率分布
一、离散型随机变量的函数的分布律 例1设X的分布律为 X-1012 Pk0.20.30.10.4 求Y=(X-1)2的分布律 解：由X的分布律可得 Y=(X-1)4101 Pk 0.20.3 0.10.4 所以Y的分布律为 Y014 Pk0.10.70.2
4 1 0 1 2 Y (X 1) k p 0.2 0.3 0.1 0.4 解： 设 X 的分布律为 X k p 1 0 1 2 0.2 0.3 0.1 0.4 例1 所以 Y 的分布律为 2 求 Y (X 1) 的分布律. Y k p 0 1 4 0.1 0.7 0.2 由 X 的分布律可得 一、离散型随机变量的函数的分布律
离散型随机变量的函数的分布律 如果X是离散型随机变量，则Y=9(X)也是离散型随机变量， 若X的分布律为 X X1 X2 Pk P P2 .卫 . 则Y=g(X)的分布律为 Y=g(X) g(x1)8(x2).g(x) Pk P1 P2 Pk 注：若g(x)中有值相同的，应将相应的P合并
离散型随机变量的函数的分布律 如果 X 是离散型随机变量， X k p 1 2 k x x x 1 2 k p p p 则Y g(X )的分布律为 k p Y g(X ) 1 2 k p p p 1 2 ( ) ( ) ( ) k g x g x g x ( ) , . k k 注：若 g x 中有值相同的 应将相应的 p 合并 若 X 的分布律为 则Y g(X )也是离散型随机变量
二、连续型随机变量的函数的概率密度 重点！ F(x)=P{X≤x=∫f)dt定义域(-o,o) f(x)=F'(x), 问题：已知X~fx(x),Y=g(X),求Y~fy(y) 方法一：分布函数法 F,(y)=P{Y≤y}=P{g(X)≤y} =∫s,f(wdx,（-o<x<oh fy(y)=[Fy(y),(-o<y<o)
二、连续型随机变量的函数的概率密度 ——重点！ F(x) P{X x} ( )d 定义域（ ，） x f t t f (x) F(x). 方法一：分布函数法 ~ ( ) ( ) ~ (y) X X Y 问题：已知 f x ，Y g X ，求Y f ( ) ( )d , ( ), X g x y f x x x ( ) [ ( ) ] , ( ) Y Y y f y F y y ( ) { } { ( ) } FY y P Y y P g X y
例2.设随机变量X的概率密度为 0<x<4, fx(x)= 81 0,其它. 求随机变量Y=2X+8的概率密度 解第一步先求Y=2X+8的分布函数F,(y): Fx(Uy)=PY≤y}=P{2X+8≤y} =Px≤'，3-r',8-度fw 第二步由分布函数求概率密度. 0)=)-f.9-号
第一步 先求Y=2X+8 的分布函数 ( ). FY y ( ) { } FY y P Y y P{2X 8 y} 解 , 0 4, ( ) 8 0, . 2 8 . X X x x f x Y X 设随机变量 的概率密度为 其它 求随机变量 的概率密度 8 { } 2 y P X 例2. 8 ( ) 2 X y F 第二步 由分布函数求概率密度. 8 8 ( )( ) 2 2 X y y f Y ( ) ( ) Y f y F y 8 1 ( ) 2 2 X y f 8 2 = ( ) y X f x dx