第三章 多维随机变量及其分布 第一节二维随机变量 ·二维随机变量及其联合分布函数 ·离散型；连续型 ·推广：n维随机变量及其分布函数 重点： 1、二维随机变量的相关概念、性质： 联合分布函数、联合分布密度、联合分布律； 2、二维均匀分布、二维正态分布
第三章 多维随机变量及其分布 • 二维随机变量及其联合分布函数 • 离散型; 连续型 • 推广：n维随机变量及其分布函数 重点： 1、二维随机变量的相关概念、性质: 联合分布函数、联合分布密度、联合分布律； 2、 二维均匀分布、二维正态分布. 第一节 二维随机变量
二维随机变量及其联合分布函数 1.二维随机变量一 实验结果需要同时用两个随机变量描述 引例1.考察一个地区儿童的身高H和体重W. 引例2.考察炮弹弹着点的位置 ●X(e) (横坐标x,纵坐标Y). 定义设E是一个随机试验， 它的样本空间是S={e},设X=X(e)和Y=Y(e) 是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个向量(X,Y) 叫作二维随机向量或二维随机变量 (X,Y)的性质不仅与X、Y有关，而且还依赖于这两个 随机变量的相互关系
e • •Y(e) S • X(e) 一、二维随机变量及其联合分布函数 1. 二维随机变量—— ( X, Y ) 的性质不仅与X、Y 有关,而且还依赖于这两个 随机变量的相互关系. , { }, ( . ) ( ) ( , ) E S e X X e Y Y e S X Y = = = 设 是一个随机试验 它的样本空间是 设 和 是定义 定 在 上的随机变量，由它们构成的一个向量 叫作二维随机向量或 义 二维随机变量 引例1. 考察一个地区儿童的身高H和体重W . 引例2. 考察炮弹弹着点的位置 （横坐标X，纵坐标Y）. 实验结果需要同时用两个随机变量描述
2、联合分布函数 定义2设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数：F(x,y)=P{X≤x)∩(Y≤y}=PX≤x,Y≤} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为X和Y的联合 分布函数。 (x,y) 说明：F化，y)的函数值是随机点(X,Y)落在以点(x,y) 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率
定义 2 设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数 x，y， 二元函数：F x y P X x Y y P X x Y y ( , ) {( ) ( )} { , } = = 称为二维随机变量（X，Y）的分布函数，或称为 X 和 Y 的联合 分布函数。 2、联合分布函数 o x y ( , ) x y • 说明: F(x, y) 的函数值是随机点( X, Y )落在以点 ( , ) x y 为顶点而位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率
3、联合分布函数的基本性质 (1)F(x,y)是变量x和y的不减函数， 即对于任意固定的y,当x2>x1时F(x2,y)≥F(x1,y), 对于任意固定的x,当y2>y时F(x,y2)≥F(x,y1) (2)0≤F(x,y)≤1，且有 对于任意固定的y,F(-oo,y)=IimF(x,y)=0, 对于任意固定的x,F(,o)=limF(x,y)=0, 0 (x,y) F(-00,-oo)=lim F(x,y)=0, y-→-0 F(+oo,+oo)=lim F(x,y)=1. y→+0∞
(1) ( , ) , F x y x y 是变量 和 的不减函数 (2) 0 ( , ) 1, F x y 对于任意固定的 , y ( , ) lim ( , ) 0, x F y F x y →− − = = 且有 对于任意固定的x, ( , ) lim ( , ) 0, y F x F x y →− − = = ( , ) lim ( , ) 0, x y F F x y →− →− − − = = 3、 联合分布函数的基本性质 2 1 2 1 对于任意固定的x y y F x y F x y ，当 时 ( , ) ( , ). 2 1 2 1 即对于任意固定的 y x x F x y F x y ，当 时 ( , ) ( , ), o x y ( , ) x y • ( , ) lim ( , ) 1. x y F F x y →+ →+ + + = =
(3)F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0), 即F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续. (4)对于任意(1，y1),(x2,y2),x1<x2,y1<y2, 有P{x<X≤x2y1<Y≤2}= F(x2,y2)-F(2,y)+Fx,y)-F(x,y2)≥0 y个 (2,y2) y2 (c1,y2 (X,Y) 1 1,Jy1) (c2,y1) X2
(3) ( , ) ( 0, ), ( , ) ( , 0), ( , ) , . F x y F x y F x y F x y F x y x y = + = + 即 关 于 右连续 关 于 也右连续 1 1 2 2 1 2 1 2 (4) ( , ),( , ), , , 对于任意 x y x y x x y y 有 ( , ) X Y y 1 y 2 (x2 , y 2 ) (x2 , y 1 ) (x1 , y 2 ) (x1 , y 1 ) x 1 x 2 P x X x y Y y 1 2 1 2 = , y x 2 2 2 1 1 1 1 2 F x y F x y F x y F x y ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − + − 0