第二节， 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题
第二节 中心极限定理 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题
一、问题的引入 1.背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的，并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 2.结论：大量随机变量之和的标准化变量 近似服从标准正态分布
一、问题的引入 这些因素包括：瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方 面 的误差、以及射击时武器的振动、气象因素的作用， 例如：考察射击命中点与靶心距离的偏差. 偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和. 所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的, 并 且它们中每一个对总和产生的影响不大. 1. 背景：由大量的、独立的、随机的因素综合影响形成的随机 变量，其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都很微小， 这样的随机变量服从什么分布？ 2. 结论：大量随机变量之和的标准化变量 ——近似服从标准正态分布
定义设X1,.,X,是独立的随机变量序列，E(X),D(X) 存在，令乙= x-立 若对任意x∈R,Z,的分布 D,) 教R()的极限imFo)=imP亿，≤对三2》 侧称X,}服从中心极限定理， 近似 ≈N0,1)
1 1 1 1 , , , ( ( ) ( ) . ( ) n n k k k k n n k k k n k X E X Z X D X X D X X E = = = − = 设 是独立的随机变量序列， )， 存在 义 ， 定 令 则称{ }服从中心极限定理. Xn n 若对任意x R Z ， 的分布 2 2 1 lim lim { } 2 x t n n n n F x P Z x e dt − → → − = = （ ） 1 1 1 ( ) ( ) n n k k k k n n k k X E X Z D X = = = − = 即 函数F x （n ）的极限 ~ N(0 1). , 近似 1 n k k X = 的标准化变量
二、基本定理 独立同分布 定理1（独立同分布的中心极限定理） 期望、方差已知 设随机变量X1,X,.,Xn,.相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差：E(X)=μ，D(X)=o2>0(k=1,2,), 则(X,服从中心极限定理.即随机变量之和∑X的标准化变量 k ZX-E(ZX)ZX-MA 乃= k=1 的分布函数F(x) √no 对于任意x满足 lim F.(()=Φ(x). Yn近似-N0,1)
二、基本定理 定理1（独立同分布的中心极限定理） 近似~N(0,1) 1 1 1 1 ( ) ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X = = = = − − = = 1 2 2 , , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), n k k X X X E X D X k = = = 设随机变量 相互独立，服从同一分布，且 具有数学期望和方差： lim ( ) n n F x → = ( ). x ( ) F x n x 的分布函数 对于任意 满足 1 即随机变量之和 的标准化变量 n k k X = 独立同分布 期望、方差已知 则{ }服从中心极限定理. Xn Yn
定理1表明： 若E(X)=4,D(X)=o2>0(k=1,2,当n充分大时， (①y= x-馆x)3x- 近似 N(0,1). Dx 近似 2)∑X.tNu,no') 3)记x=2x,则xN4,g N k=1 了-上远 N(0,1), ol√n
定理1表明: 当n充分大时， 2 X N ~ ( , ) n 近似 1 1 1 1 ( ) 1 ( ) n n n k k k k k k n n k k X E X X n Y n D X = = = = − − = = （ ） ~ (0,1), / X N n − 近似 2 ~ N n n ( ) , . 近似 1 2 n k k X = （ ） 1 1 3 n k k X X n = （ ）记 = ，则 ~ N(0 1). , 近似 2 ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), 若 E X D X k k k = = =