第四节相互独立的随机变量 一、两个随机变量的相互独立性 二、n个随机变量的相互独立性
一、两个随机变量的相互独立性 二、 n 个随机变量的相互独立性 第四节 相互独立的随机变量
一、两个随机变量的相互独立性 定义设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数。若对于所有x,y有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X与Y是相互独立的。 X与Y相互独立 一对任意x,y,随机事件{X≤x}与Y≤y}相互独立
一、两个随机变量的相互独立性 定 义 设 ( , ) ( ), ( ) F x y F x F y 及 X Y 分别是二维随机变量 （X，Y）的分布函数及边缘分布函数。若对于所有 x, y 有 P X x Y y P X x P Y y { , } { } { }, = 即 ( , ) ( ) ( ), F x y F x F y = X Y 则称随机变量 X 与 Y 是相互独立的。 对任意x y X x Y y ， ，随机事件 与 相互独立． X Y 与 相互独立
若(X,)为离散型随机变量 X与Y相互独立台P{X=x,Y=y}=P{X=x}PY=y} 台卫=P。·P i,j=1,2,-. 若（X,Y)为连续型随机变量 X与Y相互独立台f(x,y)=fx(x)fr(y) 在全平面上几乎处处成立
{ , } { } { } = = = = = P X x Y y P X x P Y y i j i j 若（X，Y）为离散型随机变量 ij i j p p p = • • X Y 与 相互独立 若（X，Y）为连续型随机变量 ( , ) ( ) ( ) X Y = f x y f x f y 在全平面上几乎处处成立。 X Y 与 相互独立 i j , 1, 2, . =
补例设二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 2 3 1 1-6 1-9 1 18 1 2 3 a B 试确定常数，B使得随机变量X与Y相互独立. 解：由表可得，随机变量X与Y的边缘分布律为
补例 设二维离散型随机变量( , ) X Y 的联合分布律为 试确定常数 ， 使得随机变量 X Y 与 相互独立． 解： 由表可得，随机变量 X Y 与 的边缘分布律为 1 2 3 111 1 6 9 18 1 2 3 X Y
1 2 3 P.j 1 1 1 1 1 6 9 18 3 1 1 2 0 B +a+B 3 1 P 2 +a 8+B 如果随机变量X与Y相互独立，则有 P=P.P（i=1,2,3,j=1,2)由此得 r(x-zx-x2aa-3 -e(x-3.v-1-(x-3(v-1)-t3 18 令B=写
ij i j p p p = 由此得 如果随机变量 X Y 与 相互独立，则有 (i j = = 1,2,3 1,2 ； ) 1 2, 1 9 = = = P X Y = = = P X P Y 2 1 1 1 9 3 = + 2 9 = 1 3, 1 18 = = = P X Y = = = P X P Y 3 1 1 1 18 3 = + 1 9 = X Y 1 2 3 1111 1 6 9 18 3 1 1 2 3 3 1 1 1 2 9 18 j i p p + + + +