第五章大数定律及中心极限定理 第一节大数定律 一、问题的引入 二、基本定理
一、问题的引入 二、基本定理 第五章 大数定律及中心极限定理 第一节 大数定律
一、问题的引入 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性，这种稳定性正是大数定律的客观背景。 复习：切比雪夫不等式 定理设随机变量X具有数学期望E(X)=4,方差D(X)=σ， 则对于任意正数名有不等式PK-Mg :1D)
定 设随机变量 具有数学期望 ，方差 则对于任意正数 ， 不等式 理 有 2 2 2 ( ) ( ) , . X E X μ D X σ σ ε P X μ ε ε = = − 复习：切比雪夫不等式 2 ( ) ( ) 1 D X P X E X ε ε 或： − − 第一章中我们知道事件发生的频率具有稳定性，在 实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳 定性， 这种稳定性正是大数定律的客观背景。 一、问题的引入
切比雪夫不等式：PX-E(K)<≥1- D(X) 二、基本定理 定理一辛钦大数定理（弱大数定理)Khinchin 设随机变量X1,X2,Xn,.相互独立，服从同一分布，且 E(X)=4(k=1,2,),则对于任意正数，有 2水- 证：只针对方差D(X)=σ2(k=1,2,)存在的情形给出证明。 记元=2X。则=4m0-是g 由切比雪夫不等式得 p2x-41 在上式中令n→o, imPEx-ce-1
1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) , n k X X X E X k = = 设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则对于任意正数 有 1 1 lim 1. n k n k P X n → = − = 定理一 辛钦大数定理（弱大数定理）Khinchin 二、基本定理 证：只针对方差 2 ( ) ( 1,2, ) D X k k = = 存在的情形给出证明。 2 ( ) { ( ) } 1 D X P X E X ε ε 切比雪夫不等式： − − 1 n , n = 2 2 2 1 n , n n 则E X( ) = D X( ) = = 1 1 n k k X X n = 记 = ， 2 2 1 1 1 , n k k P X n n = − − 由切比雪夫不等式得 在上式中令 n → ， 1 1 lim 1. n k n k P X n → = − =
说明： x-4< (1)辛饮大数定律表明：若随机变量序列X1,X2,.Xm,.独立同 分布，当很大时，它们的算术平均值上x,很可能接近于 1k=1 =2x (2)辛钦大数定律并不要求方差存在
(1) 辛钦大数定律表明：若随机变量序列 1 2 , , , X X Xn 独立同 分布，当 n 很大时，它们的算术平均值 1 1 n k k X n = 很可能接近于 说明: (2) 辛钦大数定律并不要求方差存在 1 1 n k k E X n = = 1 1 lim 1. n k n k P X n → = − =
定义设y,Y2,.y,.是一个随机变量序列，a是一个 常数。若对任意的ε>0，有 imp(y,-a<e)=1, 则称y,Y2,.Yn,.依概率收敛于a,记作 YPa. 性质：若Xnp→a,YnP→b,函数gk,y)在点(a,b) 连续，则g(Xm,Yn)P→g(a,b)。 辛钦大数定理（弱大数定理）可表述为： 设随机变量X1,X2,Xn,.相互独立，服从同一分布，且 E=“k=2以则X=2X一4
定义 设 1 2 , , , Y Y Yn 是一个随机变量序列，a 是一个 常数。若对任意的 ε >0，有 lim 1 n n P Y a → − = ， 则称 1 2 , , , Y Y Yn 依概率收敛于 a，记作 P Y a n ⎯⎯→ . 性质：若 P X a n ⎯⎯→ ， P Y b n ⎯⎯→ ，函数 g(x, y)在点(a,b) 连续，则 ( , ) ( , ) P n n g X Y g a b ⎯⎯→ 。 1 2 , , , , , , ( ) ( 1,2, ) n k X X X E X k = = 设随机变量 相互独立 服从同一分布 且 ，则 辛钦大数定理（弱大数定理）可表述为： 1 1 n P k k X X n = = ⎯⎯→