第五节 条件概率 一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 第五节 条件概率
一、条件概率 10引入 例1：将一枚硬币抛掷两次，观察正反两面的情况，设A: “至少有一次为正”，B:“两次掷出同一面”。 求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率 分析： 样本空间S={HH,HT,TH,TT}, A=(HH,HT,TH,B=(HH,TT),AB=HH. 事件A已经发生的条件下事件B发生的概率，记为P(BA), 由古奥概率公式计算得P81④} 则P(BA)=I=1Y4-P(AB) 33/4P(A)
例1: 将一枚硬币抛掷两次 ,观察正反两面的情况，设 A: “至少有一次为正”, B:“两次掷出同一面”. 求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析: 事件A 已经发生的条件下事件B发生的概率,记为 P B A ( ), 1 ( ) 3 则 P B A = 1 4 3 4 = ( ) . ( ) P AB P A = 1 0 引入 一、条件概率 样本空间 S={ , , , } HH HT TH TT ， A={ , , } HH HT TH ，B={ , } HH TT ，AB={ } HH 。 由古典概率公式计算得 1 ( | ) , 3 P B A =
对于古典概型问题，设试验E的样本空间为 S-{e1,e2,en},容量为n,A容量为m,AB容量为k 古具税率得P(4)-公P(48 k P(BA)= kk/n m mn A k B m >P(B|A)= P(AB) P(A)
A B S 对 于 古 典 概 型 问 题 ， 设 试 验 E 的 样 本 空 间 为 S={ , , , } 1 2 n e e e ，容量为 n，A m AB k 容量为 ， 容量为 ( ) , m P A n = ( ) , k P AB n 由古典概率 得 = ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A = P B A ( | ) km= n m k k n m n =
2定义 设A,B是两个事件，且P(A)>0,称 P(EA)= P(AB) P(A) 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率： 注：P(B)≠P(B) 若P(B)>0,同样可称 P(AIB)=P(AB) P(B) 为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率
若P B( ) 0 ，同样可称 ( ) ( | ) ( ) P AB P A B P B = 为在事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率。 ( ) ( ) ( ) P AB P B A P A = 2 0 定义 设 A B P A , , ( ) 0, 是两个事件 且 称 为在事件 A B 发生的条件下事件 发生的条件概率. 注：P( ) B A P( ). B
30性质 P(BA)=P(AB) P(A) 条件概率P(A)符合概率定义中的三个条件（可验证） 1°非负性：P(B|A)≥0 2°规范性：P(S|A)=1 3°可列可加性：设B,B2,.是两两互不相容的事件，有 PB14=∑PB,1M 所以，概率具有的性质都适用于条件概率. 如：P(A|B)=1一P(AB) P(4UA,B)=P(AB)+P(4,B)=P(A4B)
条件概率P( |A)符合概率定义中的三个条件(可验证) 1°非负性：P B A ( | ) 0 2°规范性：P S A ( | ) 1 = 3°可列可加性 ：设 1 2 B B, , 是两两互不相容的事件，有 1 1 ( | ) ( | ) i i i i P B A P B A = = = 3 0 性质 如：P A P A ( ) ( ) | | B B = −1 1 2 1 2 1 2 P A A B P A B P A B P A A B ( ) ( | ) ( | ) ( | ) = + − 所以，概率具有的性质都适用于条件概率. ( ) ( | ) ( ) P AB P B A P A =