第三节协方差及相关系数 一、协方差的定义和性质 二、相关系数的定义和性质
一、协方差的定义和性质 二、相关系数的定义和性质 第三节 协方差及相关系数
一、协方差的定义和性质 1.问题的提出 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E[X-E(X)JY-E(Y)] 若随机变量X与Y相互独立，则E{[X-E(X)[r-E()]}=0, 若E[X-E(X)][Y-E(Y)]≠0，则x与Y不独立，而是存 在一定关系的
一、协方差的定义和性质 若随机变量 X 与 Y 相互独立，则E X E X Y E Y − − = ( ) ( ) 0 . 若E X E X Y E Y − − ( ) ( ) 0 ，则 X 与 Y 不独立，而是存 在一定关系的。 1. 问题的提出 D X Y ( ) + = + D X D Y ( ) ( )+ − − 2 ( ) ( ) E X E X Y E Y
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2EX-E(X)Y-E(Y) 2.定义量EIX-E(X[Y-E(Y)}称为随机变量X与 Y的协方差，记为Cow(X,Y), 即 Cov(X,Y)=E[X-E(X)Y-E(Y) 计算公式：Cow(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 】 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 3.性质 1'Cov(X,Y)=Cov(Y,X),Cov(X,X)=D(X) 2°Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)。 3 Cov(Xi+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
即 Cov( , ) ( ) ( ) X Y E X E X Y E Y = − − 。 D( ) D( ) D( ) 2Cov( ) X +Y X Y X,Y = + + ( ) ( ) ( ) ( ) o 1 Cov X,Y Cov Y,X Cov X,X D X = = ， 2 o Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)。 3 o Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)。 3. 性质 计算公式： Cov , ( X Y E XY E X E Y ) = − ( ) ( ) ( ) 2. 定义 量E X E X Y E Y {[ ( )][ ( )]} − − 称为随机变量 X 与 Y 的协方差，记为Cov( , ) X Y ， D X Y ( ) + = + D X D Y ( ) ( ) + − − 2 [ ( )][ ( )] E X E X Y E Y
二、相关系数的定义和性质 ☑引入：CovX,Y)=? Cov(X,Y) I.定义PwDx)NDY西 称为X与Y的相关系数， →Cov(X,Y)=PxyD(X)√D(Y) 注：P灯为无量纲一常数
二、相关系数的定义和性质 Cov( , ) ( ) ( ) X Y XY = Y D X D ρ 1. 定义 Cov( , ) ( ) ( ) XY X Y ρ D X D Y = 称为 X 与 Y 的相关系数. Cov( , )= X Y ？ 注：ρXY为无量纲一常数 引入：
2.相关系数的两条性质及含义： 以线性函数a+bX近似表示Y, 其近似程度用均方误差：e=EL(Y-(a+bX)]的大小衡量 问题：求n,b,使e达到最小. e=E[Y-(a+bX)]] =E(Y)+BE(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y), ae=2a+2bE(X)-2EY)=0, 令 D e-2bE(x')-2EXY)+2aE(X)=0, 解符A=CoX,a,=E)-EX)ou代” D(X) D(X)
2 2 2 2 = + + − + − E Y b E X a bE XY abE X aE Y ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ), 2 2 2 ( ) 2 ( ) 0, 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 0. e a bE X E Y a e bE X E XY aE X b = + − = = − + = 令 解得 0 Cov( , ) , ( ) X Y b D X = 0 Cov( , ) ( ) ( ) . ( ) X Y a E Y E X D X = − 2 e E Y a bX = − + ( ) 以线性函数 a bX Y + 近似表示 ， 2 其近似程度用均方误差：e E Y a bX = − + [( ( )) ]的大小衡量. 2. 相关系数的两条性质及含义： 问题：求a b e , ，使 达到最小