e书联盟电子书下载www.b6ok1H8.e6m 反之，若在根x‘的邻域R内 1p'(z川≥1 (2-8) 则迭代必发散。 证 首先证明条件式(2-5)成立时选代格式的收敛性。 显然，在x'的邻域R内定理1的条件②成立，此外，根据微分中值定理与条件式(2-5)， 任取x∈R,有 lx*-x)=igr')-gz)=lg'((x'-x)I5Llz'-xI<Iz-zl<8 所以z)ER,即定理1的条件①也成立，据定理1，当x∈R时选代格式+1=x)收敛 于x 其次证明在条件式(2-5)下误差估计式(2-6)、(27)成立。 由上述证明可知，当x。∈R时，有 |x'-x≤Llx'-x-il≤L(|x-x+lx-l) 故 即式(2-6)成立。类似地可得 x-x-=|-)-(x-川 =1'()( 据此反复递推有 lx-4-l≤Lx-x 代人式(2-6)即得式(2-7) 最后证明在x的邻域R内p'(x)1≥1时选代发散。 由于 lx-+l=|gx)-x=|p'()(x-x)≥x-xl 这说明即使很靠近x”,x4+1也不会向工“进一步通近，即选代过程发散。证毕。 本定理给出了达代格式在根x邻近是否收敛的判定条件。从图？-3可以直观地看到条 件式(2-5)、(2-8)对收敛性的影响，此外，定理中十分强调，当条件式(25)成立时，选代初值 x应取在根x‘的邻城R中。如果对任意给定的x,选代格式均收敛，则称此格式具有全局 嫩性，但这样的格式是极其稀少的。如果对根x的某邻域内的任一点，代格式均收 (a)lo'(r)iL< 图2-3 18
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e书联盟电子书下载ww.b66k118.e6m 敛，则称此格式具有厕部收敏性。本定理给出的就是局部收敛性条件、具体解题时，虽然无 法判别隔根区间是否是以x“为中心的邻城R,但只要它足够小，在其中Ip'(x)川≤L<1成 立，则对其中任取的一点。必能保证枚敛 定理2中给出的两个误差估计式(2-6)、(2-)是很有意义的.由式(2-7)可知，条件式(2 5)中的L超小，选代过程收敏越快。若L<1,但L≈1，则收敛很慢，此种格式不宜采用。 例如，例3中采用的三种选代格式，在痛极区间(1,1.2)内，有 g'-[4干-i+4]'<[4√5-i5]'<.1 1a'(x)l=14x3+4xl>8 根据定理2可知，例3中第三种法代格式发散，第一 、二种选代格式收敛，而第二种选代格式 比第一种选代格式收敛要快得多，这与实际选代结果完全吻合。 由式(2-6)可知，若|x一x-f<c,则近似解x有如下谈差估计 lx≤e 因此，在正常收效情况下，即L不十分接近于1时，可用一-<e控制迭代结束。这种 用前后两大迭代结果估计误差的办法称为事后误差估计，实际应用中，控制选代结束的条件 也常取为 E<t lx4-l 当≤1 其中 当|x,>1 迭代法的流程图见图24。 输入迹代初值u,精度，最大进传次数八 k-2.N x=) 1x|≤1 F E-lz-xol ii E> ra=置 输出x及选代次歌，件 藏曲选代州次方法失的息，伴 图24选代法求根 3.选代过程的收敏速度 在建立一般选代公式时，为了能科学地刻画选代收敛的快慢，应考察选代误差下降的速 度。令G=x一x·,若 →c (→∞，常数c≠0》 ·19
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e书联盟电子书下载www.book118.com 则称代格式+一，)是户阶收敛的。特别地，p=1时称为线性收敛，p=2时称为平方 收敏，P>1时称为超线性收敏。显然，收敏阶p越大，收敏越快。 当在x附近'(x)连续，且1p'(x)<1时，必存在x的邻城R,使x∈R时，p'(x)川 ≤1<1，因此选代格式局部收敏。若p'(x”)≠0，由于 x4+-x=)-x)='((x一x) 其中在与x之间，因此 +-p'(+l9'(x≠0 (k+∞) 故选代过程为线性收效。若x)清足 p'(x)p"(x)= ■-(x)=0 (x)≠0 则将以x)在根工'处进行来勒展开，得 介于与x之间 因此 e1=i-=-r)=( 故此选代过程为p阶收敛。综上所述可得定理3。 定理3设x'为x=x)之根，在x·的邻域内以x)有连续的p阶导数(>1)，那么， ①若0<p'(x)引<1，则迭代过程在x“的邻近为线性收敛； ②若甲'(x)=P”(x)=.=-(x)=0,(x)≠0，则迭代过程在x的邻近为 户阶收数， 二、加速收敛的埃特金法 对于收敛缓慢的迭代格式，如何加快其收敛速度是一个很重要的问题，下面介绍一种简 便易行而又能大幅度提高收敦速度的方法。 设x为方程根x·的一个近似值，由开始相继选代两次，将其结果记作x科：一(x), =x4),则有 一x='((x-x), 介于x与4之间 x·-x41=p'()(x·-x鼎)， 习介于x·与x州之间 当x≈x'时，≈刀，因此 工一露心”一m 所以 x一州一强，=2十五 (x出1一x) 此式右端可看作是：的误差估计值，若以它悠正x:,可望得到精度更高的工的近似值。 于是得如下迭代格式 20
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e书联盟电子书下载www.book118.com 〔x=x) =以鼎) (29 1=州一=2十五 (z出-x) 称之为埃特金(Atke)外推加速法，其流程图见图25。可以证明，若+：=以.4为线性牧 缴，则埃特金方法为平方收敛：若+=x)为p(p>1)阶收敛，g以x)的p阶导数连续，则 埃特金方祛为2p一1阶收敛（见参考文献[14门）， 物人这代初值，精崔，最大兹代次数N k=12N 2n+ D=0 需出失收特息，停 !rdl <t 出及代次数点，停 塘出法代N次方法炎数的信票，荐 图2-5 埃特金选代加速法 例4求方程x=e“在r=0,5附近的根 取x=0.5,选代格式x41=e,得 x5=x2g=0.5671433 若对此格式用埃特金法，则 r=e =e 41=-2r十 (x,一x,)2 仍取x60.5,得 x0=0.6065307 x=0.5452392 1=0.5676279 x=0.5668708 x:=0.5672979 x2m0.5671433 x-0.5671433 x4=0.5671433 3=0.5671433 由此可见，埃特金法加速牧敛效果是相当显著的。 第三节牛顿法及其变形 对于给定的方程∫(x)一0，如何构造选代格式具有很大的灵活性，本节介绍实践中常用 的一类重要的选代格式 牛顿法及其变形。 一、牛领选代法 设已知方程f(x)=0的近似根x,且在x,附近f八x)可用一阶泰勒多项式近似，表示为 ￥21·
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e书联盟电子书下载www.book1H8.Com f(x)≈f(x)十f(x)(x-xo) 当（）≠0时，方程f(x)-0可用线性方程近似代誓，即 f(x。)十P(x)(x一xe)m0 解此线性方程得 取此x作为原方程的新近似根x1,重复以上步骤，于是得选代公式 f() (x) (k=0,1,) (2-10) 此式称为牛(Newton)迭代公式，其送代函数为 )=r- 当x‘为单根时，f(x)=0,(x)≠0，故 )-2°0 p(x)不一定为0，根据定理3，牛顿达代法在根x“的邻近 是平方收敛的。 牛顿法有着明显的几何意义，若过曲线y=f(x)上的 点P(,(x)引切线，该切线与x轴交点的横坐标即为 由牛顿选代公式求得的x+1,如图2-6所示，因此牛顿法也 称牛顿切线法。在高等数学中，正是从此几何意义出发引入 了方程求根的牛顿切线法。之所以从一阶套公式近似代 转f(x)的角度重新引人此公式，是因为这种建立迭代公式 的思想可以推广到一般非线性方程组的求解。 牛代法的流程图见图27. 葡人选代初值0，精度，凝大达代次数N =1,2,.N fo-f(ro).F=P(o) f=0 F 】输出。=0的信惠.停 -zo-folfa E✉ix-xal/Hxl =-l 出x,J),k,停 出代N方法失敷的息，作 图2-7牛顿选代法 22
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