e书联盟电子书下载www.book118.com sind-1 出√1+0-na 1-17) 记S.=n8,则由式(1-16)、(1-17)可建立如下选代公式 =/0+-8两 (1-18) (1-19》 则P.就是x的通近值。 实际计算时，从5=n=1出发，对n=3,4,一用式(1-18)、(1-19)遵推计算5.和P、 方常【这是根据？0年代早期发现的计算需值的一个新公式所建立的算法，兵体算法如下： ①量a=0,b-1,c=会 ②按下面公式减序更新各个值。 amb.b=54,c=va,dud-e(b-a)',e2e 国f-生，= 于与g均为π的近似值. ④再转②反复计算。 注：确到36位的置值是3.14159265358979323846264338327950288. ·13
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e书联盟电子书下载www.book1H8.Com 第二章非线性方程求解 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 f(x)=0 (2-1) 方程(21)的解x称为方程的根或函数f八x)的零点。若f(x)可表为 f(x)=(x-x*)”g(x） 其中m为大于1的整数，且g(x)≠0，称x·为方程(21)的m重根，或函数∫(x)的m重 点。若fx)为n次多项式，则称f八x)-0为次代数方程；若fx)为超越函数，则称f(x 一0为超鹅方程，从理论上可以证明，5次以上代数方程没有一般的公式解法，3次，4次代数 方程虽然有解的公式，但应用起来十分繁琐。对于一般的超越方程，更无求根公式。因此，研 究非线性方程的数值解法是很必要的，本章主要介绍几种求近似根的常用方法。 第一节根的隔离与二分法 方程求根同题一般分两步进行。第一步根的隔离：确定根所在的区间[a,b],使在[a,b] 内只有方程的一个根，这个步骤叫根的隔离，这样的区间叫根区间。第二步近似根的精确 化：已知根的一个近似值后，用某种方法对其进行加工，使之满足给定的精度要求。 一、求隔根区间的一般方法 由高等数学可知，若f(x)在[a,b]内连续，且fa)·fb)<0,则f(x)=0在[a,b]内必 有根；若f(x)在[a,b]内还严格单调，则f(x)=0在[4，b]内只有一个根.据此可得求隔根区 间的两种方法。 1.作法 画出y=f(x)的草图，由f(x)与横轴交点的大概位置来确 定隔根区间，如图2-1所示，或者利用导函数∫(x)的正、负与 y 函数f(x)的单调性的关系确定根的大摄位爱。若∫(x)比较复 杂，还可将方程(2-1)化为一个等价方程(x)=(x),则曲线y =x)与y=(x)之交点A(x,y)的横坐标x'即为原方程之 根，据此也可通过作图求得x~的隔根区间。 例1判别下列方程有几个实根，并求出其隔根区间。 ①f(x)=x2-x-1=0 ②fx)=x-4x3+1=0 ①将方程变形为x=x十1，绘曲线y=x及y=x十1，由图22可知，方程只有一个实 根x∈(1,1.5)，所以(1,1.5)即为其隔根区间. ②对方程f(z)=x-4x3+1=0,令(x)=4x23-12x2-4x2(x-3)=0,可得驻点x1= 0,x=3.该二点将实轴分为三个区向：(-60,0)，(0,3)，(3，十∞)，f(x)在此三区间上的正 负号分别为“一”、“一”、“+”。由此可见，八x)在此三区间上的变化规律是“降”、“降”、“增”， ·14✉
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e书联盟电子书下载ww.b66k118.e6m 又知 f(-∞)>0 f(0)=10 f(3)=-26<0 f(+o∞)0 可见f(x)仅有二个实根，分别位于(0,3)、(3，+)内.又f(4) =1>0,所以第二根的隔根区间可缩小为(3,4)。以上分析可用 图2-2 表2-1表示。 瘦2-1 〔-,0) 0 (0.3) 3 (3,4) 4(+∞) fu) 0 0 4 f 循根区间 03) (3,4) 2.遂步妆素法 从区间[a,b]的左端点a出发，按选定的步长方一步步向右搜紫，若 fa+)·f(a+(j+1)h)<0 (j=0,1,2,) 则区间[a十，a十（十1）h]内必有根。搜素过程也可从b开始，这时应取步长h<0。 二、二分法 设f(x)在区间[a,b]上连续，f(a)·f(b)<0,则[a,b]内有方程的根.取[a,b]的中点x0 =之(a十b),将区间一分为二。若f(x)=0,则0就是方程的根，香则判别根x在x0的左 侧还是右侧。 若fa)·f(xo)<0,则x∈(a,x),令a=a,b=za 若f(a)·f(x)>0,则x'∈(xo,b),令a1=xn,b-b。 不论出现哪种情况，(1，)均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半 达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间，又可施行同样的步聚，再次压缩有根区间，如此反复进行下去，即 可得一系列有根区阿套 [a,b]☐[a1,b1]D.「an,bn7s 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间[a,6,们的长度为 6-a=26-a) 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限地进行下去。当→∞时，区间必 将最终牧缩为一点x”,显然x‘就是所求之根。若取区间[a,b]的中点x=子(a,十b)作为 x“的近似值，则有下述误差估计式 -x≤号6.-a)=26- (22) 15
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e书联盟电子书下载www.b6ok1H8.e6m 只要足够大（即区间二分次数足够多），的误差就可足够小。 值得注意的是，由于在偶重根附近曲线y一f(x)为向上凹或向下凹，即f()与f(b)的 正负号相同，因此不能用二分法求偶重根。 例2用二分法求例1中①方程的实根，要求误差不超过0.005。 解由例1可知x'∈(1,1.5)，要想1x-x,≤0005，则要 6-a)=高1.5-1)=≤0.05 由此解得>经2一1≈5.6，取月=6，按二分法计算的过程见表2-2，=1.322为所求之近 似根。 表2-2 d ba fr) 备注 1.0 1.5 1.25 1.25 15 137 2 1.25 1.375 1.3125 ①fa<0fb)>0 3 1.3125 137 1.313 1312 1343 1.3281 1.312 1.3281 13203 位可 1.3203 1.3281 1.3242 第二节 迭代法 二分法既可用于求隔根区间，也可用于根的精确化，但要求得精度较高的结果，花费 较长的计算时间，求方程之根的主要方法是选代法。 一、迭代原理 1.选代法的基本思把 达代法是一种重要的逐次通近法，其基本思想是：将方程f(x)一0化为等价方程 x=以x),然后在根区间内取一点o,按下式计算 x+1=x) (k=0,1,2,.) (2-3) 计算结果生成数列 3X0,",工， (2-4) 如果这个数列有极限m,=”,是然x~就是方程x=x)之根，于是可以从此数列中求得 满足精度要求的近似根，这种求根方法称为选代法，式(2-3)称为迭代格式，(x)称为选代函 数，x称为迭代初值，数列(24)称为选代序列。如果选代序列收敛，则称选代格式(2-3)收 敛，否则称为发散。 例3用选代法求方程x+2x2-x-3=0在区间[1,1.2]内的实根 解对方程进行如下三种变形： x=9(x)=(3+x-2x) 16
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e书联盟电子书下载ww.bo6k118.e6m x=g(x=V√+4- x=段(x)=+2x2-3 分别按以上三种形式建立迭代格式，并取=1进行选代计算，结果如下： x+1=%(), x4s=x知=1.124123 x+1=%(）, x6=x1=1.124123 =96, x4=8.495307X10 准确根x·1.124123029,可见选代格式不同，收敛情况也不同。第二种格式比第一种格式 收敛快得多，而第三种格式不收敛。 由此可见，使用迭代法必须解决两个问题。一是选代格式应该满足什么条件才能保证妆 敏；二是如何判别选代收敛的速度，建立收敏快的迭代格式。 2.收处条件与误是估计 定理1设p'(x)在[a,b]上存在，且满足条件 ①当xe[a,b]时，gx)e[a,b]: ②存在正数L<1,使对任意的x∈[a,b],lp'(x)川≤L<1, 则①方程x=g(x)在[a,b]上有唯一根x, ②对任意选代初值∈a,b们，选代序列1=x)(k=0,1,2,.)收敛于x, 证 ①先证方程x=以x)之解存在且唯 由于p'(x)在[a,]上存在，所以(z)连续，作函数f(x)=x-x),则f(x)在[a,b们上 连续。由条件①，fa)≤0，f(b)≥0，故存在x'∈[ab],使f(x')=0,即x'=gx) 设方程x=以x)还有一根a,则由徽分中值定理及条件@有 lx-a=lgx'-ga)l=1p'()(x”-a)i≤Llx·-al 此式仅当x一a=0才能成立，因此a=x' ②再证选代格式x+1=兴x)收敏 任取∈[a,b],由撒分中值定理，有 x-l=x)-x4-)=lp'()x-x-)川≤Llx-x-l 反复用此不等式，并注意0<L<1,因此 {x'一xl≤Llx'一xl+0 (k+0∞) 即选代过程收敏，且mx=x。证毕。 此定理在理论上十分重要，但是条件①却不容易判别，如果仅在根的邻域中考察选代格 式，则下述定理可避免条件①的判别。 定理2若在方程x=gx)之根x“的某邻城R={xlx-x|<内p'(.r)存在，且存 在正常数1<1，使 '(x)1<1, Hx∈R (2-5) 则任取x∈R,选代格式x4+1=x)均收敛于x°，且有下列误差估计式 lx-≤1Z-l (2-6) (2-1) ,17
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