第十章 第六节 傅立叶级(Fourier Series) 一、三角级数三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、周期为2的周期函数的傅立叶级数 五、小结与思考练习 2009年7月27日星期一 目录 (上页今 下页 返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 第六节 傅立叶级数 第十章 (Fourier Series) 一、三角级数 三角函数系的正交性 二、函数展开成傅立叶级数 三、正弦级数和余弦级数 四、周期为2 l的周期函数的傅立叶级数 五、小结与思考练习
一、三角级数三角函数系的正交性 (Trigonometric series) 简单的周期运动：y=Asin(ot+p)(谐波函数) (A为振幅，0为角频率，中为初相) 复杂的周期运动：y=0+∑4nsin(not+pn) n=l (谐波迭加) An sin on cosnot+An coson sin not 4o=Ao.an=An sinn:bn=An cos on1=x 2 得函数项级数 o.coxb.sinp 称上述形式的级数为三角级数 2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 一、三角级数 三角函数系的正交性 (Trigonometric series) 简单的周期运动 : y = A ω t + ϕ )sin( (谐波函数 ) ( A 为振幅, 复杂的周期运动 : sin( ) 1 0 n n n += ∑ tnAAy +ϕω ∞ = A n t A n t ϕ nn cossin ω + ϕ nn sincos ω 令 , 2 0 0 A a = ,sin = Aa ϕ nnn ,cos = Ab ϕ nnn ω t = x 得函数项级数 cos( )sin 2 1 0 xnbxna a n n k + ∑ + ∞ = ω为角频率 , φ 为初相 ) (谐波迭加 ) 称上述形式的级数为三角级数
定理1组成三角级数的函数系 1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,.,coSnx,sinnx,. 在[-π，π]上正交，即其中任意两个不同的函数之积在 [-π，π]上的积分等于0. 证：∫1 cosdx=∫1 sinndx=0(n=1,2,) "coskx cosnx dx coskx cosnx=[cos(k+n)x+cos(k-n)x] =2[cosk+m)x+cosk-nx]Ax=0(k≠m） 同理可证：sinkxsinnxdx=0(k≠n) ∫coskx sinx dx=0 2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 [ ]d)cos()cos( xxnkxnk 2 1 = −++ ∫− π π ,1 x ,cos x ,sin x ,2cos x ,2sin " nx ,cos, nx ,sin " 证 : ⋅ ∫ − π π 1 nx dcos x ⋅= ∫ − π π 1 nx dsin x = 0 k x coscos n x = k ≠ n)( dcoscos xxnxk ∫− π π = 0 = 0dsinsin ∫− xxnxk π 同理可证 π : n = "),2,1( [ )(cos)(cos xnkxnk ] 2 1 −++ 在 −π π ],[ 上正交 , −π π ],[ 上的积分等于 0 . = 0dsincos ∫ 即其中任意两个不同的函数之积在 − xxnxk π π k ≠ n )( 定理 1 组成三角级数的函数系
但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在[一π，π] 上的积分不等于0.且有 [1-ldx=2m cos2nxdx=元 (n=1,2,.) sin2 nxdx=x cos2 nx= 1+cos2nx 1-cos2nx sinnx= 2 2 2009年7月27日星期一 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 上的积分不等于 0 . −π π],[ π π π =⋅ 2d11 ∫− x dsin xxn 2 ∫− π π dcos xxn 2 ∫− π π n = "),2,1( , 2 2cos1 cos 2 xn xn + = 2 2cos1 sin 2 xn xn − = 且有 = π = π 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在
二、函数展开成傅立叶级数 (Expanding to Fourier series) 定理2设f(x)是周期为2元的周期函数，且 w)-9+艺a,osnm+d.smm) ●● ① n=l 右端级数可逐项积分，则有 ∫a,=∫.f(x)cosnxdx (n=0,1,.) 6f()sinnxdx (n=12,) ② 证：由定理条件，对①在[一π，π]逐项积分，得 ruh=ja+2oomdr+amadr -π =ao元 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 二、函数展开成傅立叶级数 (Expanding to Fourier series) 定理 2 设 f (x) 是周期为 2 π 的周期函数 , 且 cos( )sin 2 )( 1 0 nxbnxa a xf n n n += ∑ + ∞ = 右端级数可逐项积分, 则有 ⎩ ⎨ ⎧ ),1,0(dcos)( = 1 ∫ = " − n nxnxxfa π π π ),2,1(dsin)( = 1 ∫ = " − n nxnxxfb π π π 证 : 由定理条件 , ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ + ⎝ ⎛ += ∑ ∫∫∫∫ ∞ − − = 1 − − 0 d dsindcos 2 )( n n n xxnbxxnax a dxxf π π π π π π π π = a 0 π ],[ ① ② 对①在 −π π 逐项积分, 得