常用函数的暴级数展开式 。ex=1+x+ X2++x”+。x(0,+∞ n! 。lh(1+x)=x- 2x314+ (-1)” 3 n+1 x∈(-1，+1] 比J 2n1 ●S1nx=x 十· 31 517+.+(-10 (2n+1)川 x∈(-0，+0 ●c0Sx=1 +x6 2 461++(1x2 (2n)！x∈(-o,+∞) ●(1+x)m=1+mx+mm-x2 21 x∈(-1,1) +m(m-1)-(m-n+1) 2009年7月27日星期一 n 目录 上页 下页 、返回
2009年7月27日星期一 1 目录 上页 下页 返回 常用函数的幂级数展开式 x • e = 1 + x x ∈ − ∞ + ∞),( 2 !2 1 + x , ! 1 " x n +++ " n • + x)1(ln = x x ∈ − + ]1,1( 2 2 1 − x 3 3 1 + x 4 +− " 4 1 x 1 1 )1( + + − + n n x n + " + " + −+ + !)12( )1( 12 n x n n • sin x = x !3 3 x − !5 5 x + +− " !7 7 x • cos x = 1 !2 2 x − !4 4 x + +− " !6 6 x +−+ " !)2( )1( 2 n x n n x ∈ − ∞,( ∞+ ) x ∈ − ∞ + ∞),( m +• x)1( = 1 + xm 2 !2 )1( x mm − + + " " " + − − + + n x n nmmm ! )1()1( x ∈ − )1,1(
第十章 第三节品数的幂级数展开式的应用 (Application of expanding of power series) 一、近似计算 二、欧拉公式 2009年7月27日星期一 2 目录○ 上页)下页 返回
2009年7月27日星期一 2 目录 上页 下页 返回 第三节 函数的幂级数展开式的应用 第十章 (Application of expanding of power series) 一、近似计算 二、欧拉公式
一、近似计算(Approximate computation) 例1计算ln2的近似值，使准确到10-4 解：已知 n1+)=x-r 4+. (-1<x≤1) 2 3 .2 3 ∴.ln(l-x)=-x- x4 (-1≤x<1) 234 故 n!+x=In+x)-ln(l-x) In 7 1-x 2(x+5x.）(-10 ☆+x=2得x=3于是有 1 令1-× 2009年7月27日星期一 3 目录 上页今 下页 返回
2009年7月27日星期一 3 目录 上页 下页 返回 一、近似计算 (Approximate computation) )11( 432 )1ln( 432 ∴ x <≤−−−−−−=− xxx xx " 例1 计算 2ln 的近似值 ,使准确到 .10− 4 解 : 已知 )11( 432 )1ln( 432 x ≤<−+−+−=+ xxx xx " 故 )1ln()1ln( 1 1 ln xx x x −−+= − + ( +++= " ) 53 5 1 3 1 2 xxx 令 2 1 1 = − + x x 得 − < x < )11( , 3 1 x = 于是有
n2=2 在上述展开式中取前四项， -2g为h如*】 g） 1 <0.2×10-4 78732 ln2≈2 1,11 737 ≈0.6931 2009年7月27日星期一 4 目录○ 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 4 目录 上页 下页 返回 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 3 5 7 +⋅+⋅+⋅+= " 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 22ln 4 9 3 1 9 1 2⎜ ⋅ ⎝ ⎛ ∵ r = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ 11 ) 2 +++< " 9 1 ( 9 1 1 3 2 9 11 1 1 1 3 2 − ⋅= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∴ ⋅+⋅+⋅+≈ 753 3 1 7 1 3 1 5 1 3 1 3 1 3 1 22ln ≈ 6931.0 11 3 1 11 1 ⋅+ ⎟ ⎠ ⎞ 13 +⋅+ " 3 1 13 1 9 34 1 ⋅ = 4 102.0 78732 1 − ×<= 在上述展开式中取前四项
2计算积分元erdx的近似值，特确到104 (取元≈0.56419) 解：e=1+-)+2)22)3 1 2！ 31 (-0<X<+0) n=0 -n=0 2川2 1 ）22n+l 2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回
2009年7月27日星期一 5 目录 上页 下页 返回 ( 取 xe x d 2 1 2 0 1 ∫ − π 的近似值, 精确到 )56419.0 1 ≈ π 解 : 1 2 = − x e ! )1( 2 0 n x n n n ∑ ∞ = −= ( − ∞ < x < + ∞ ) xe x d 2 2 2 1 0 − ∫ π d x 2 2 1 0 ∫ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ = π ! )1( 2 0 n x n n n ∑ ∞ = − ∑ ∞ = − = 0 ! )1(2 n n π n xx n d 2 0 2 1 ∫ .10− 4 !1 )( 2 − x + !2 )( 22 − x + + " − + !3 )( 32 x ∑ ∞ = ⋅ − = 0 ! )1(2 n n π n 12 2 1 n + n + )12( 例2 计算积分