e书联盟电子书下载www.b6ok1H8.Com 方案】=二6十6- 2a 方案14-b题v0-4地 I:=ar 表13 两种方案计算结果如表1-3所示。由于方案1出瑰大数吃掉小 数和两相近数相减，造成危害，使解失真。而方案1避免了两相 乃案15x100 近数相减，得到了与准确解相同的结果。 确米 例7级数求和计算及加速收敛方案 5x10 利用下列级数计算'与e”的值，要求误差不超过10. 。=1++萄+.+后+.=名若 (i-8 解令()=若，赐由式(1-8)知，四，()-心，故对充分大的可使 le-S,(r<10',此时，取e≈S.(x)。下面给出三种计算方案。 方案1独立算出级数各项，然后逐项求和得eS,(x), 方案【利用递推公式计算级数各项后之值，然后逐项求和，即按下述公式计算 -1 So()=1 (1-9) (k=1,2,.,n) (5,(x)=S-(x)+ 方案】利用乘方指数法，即适当选政正整数m,按方案1求”≈5.引，然后将 S反复平方m次，得c≈.S引).正整数m的选取可按使号小于且接近于 1的原则进行。 上述诸方案计算结果分别见表1-4，表1-5 表1-4 银数项数 乘法次数 的作 方聚 31 900 8103.08386 方案1 31 60 8103.08356 方案【（附=4） 10 22. 8103.083我6 准南值 8103.0839275 表15 纵数项数 乘法次数 e的 方案1 841 474575760.36153 9 出 129 485165195.40w 准豫值 515195.0970 8
e书联盟电子书下载www.book118.com
e书联盟电子书下载www.book118.com 由表中结果可以看到，方案【明显比方案】要好，它不仅大大节省了计算量，还防止了 出现象的发生，扩大了求解范围。 方案1与方案【相比，进一步减少了计算量，加快了收效速度，是一个更好的计算方案。 例8交错级数求和计算及加速收敏方案 用不同方案构造通近e的数列，用以求e1“的近似值， 解采用如下三种计算方案。 方案 利用级数式(1-8)可取 e"≈S.(-10)=.∑二10y (1-10) 利用式(1-9》得 =1 5。=1 1=-10 (1-11) (=1,2,.,n) S=S1+t 在计算机上用单精度计算e” 方案！利用方案】中的计算公式，在计算机上用双精度计算e~的值 方案I首先利用方案I求“，然后由e-“=品得到e~的值. 三种方案的计算结果见表1-6。 表1-6 e一的值 方案1 346 -6.256183×10- 方案1 44 4.539990×10-8 方案】 29 4.539996×10- 连确值 4.53999297.×10-1 用方案1计算，当级数项数达到46项以后，计算结果总是保持为一6.256183X105不 再改变，所得的是一个失真的结果，其原因是©的值很小，而级数中前面几项的绝对值远 远大于e“的值，用单精度计算时，这些项的舍人误差大于e的值，故将e“的真值淹没 了。例如，计算所得级数的第12项为-2.505211×103，其含人提差约为4X10‘,比e1的 值大许多。当充分大以后，级数每项的绝对值很小，会被大数“吃掉”而不起作用。例如，级 数的第47项为1.817315×10-，以后各项的绝对值更小，计算中它们被“吃掉”而不起作 用。因而导致了瀑误的结果。 方案I虽然也是借助于方案】进行计算的，但由于把对“的级数求和计算转化为对 e1“的级数求和计算，而°的值很大，其级数每项的舍人误差与e“的值相比都比较小，因而 不会出现误没直值的现象，所以得到了较准确的结果」 方案1是通过增加数据的位数提高其精度，使级数每项舍人误差变小，而不致于淹没 e的值，因而也得到了较准确的结果，但是，当计算更小的时，又可能会出现方案I中的 ·9
e书联盟电子书下载www.book118.com
e书联盟电子书下载www.book118.com 问题。例如，求c0的值，结果见表1-7。可见，双精度运算不是改变计算效果的“万能钥匙"， 而算法的改进往往会收到预想不到的效果。 表1-7 饭数项数 e一”的值 方案【 118 2.271280×10-1 61 9.357627×10-14 准蹄值 9.357622968.X10-14 小结 误差问题是计算方法中重要而又困难的课题。本章只介绍了误差的基本概念和数值计 算的若干原则，这对处理数值计算问题是必需的，但是，仅这些还远远不能解决工程和科学 计算中更为复杂的误差分析问题，报据同题的不同情况，还需要分门别类地进行研究 误差分析的方法有多种。例如，克逊(.H.Willkinson)针对计算机的浮点运算提出了 套误差的先验估计法，在矩薛运算的舍人误差估计上有较好的结果。应用区间分析理论 估计误差，是另一种较重要的误差分析方法。因为合人误差具有随机性，也有人应用额率现 点研究误差规律。限于篇幅，这些内容未加介绍，读者可参阅有关专。特别值得一提的是 在工程技术界，经常使用几种不同的计算方法，甚至使用实酸方法进行比较，从而确定计算 结果的可靠性，这也是一种有效而实用的方法。 复习思考愿 1.计算方法的研究对象和内容是什么？它有什么主要特点？学习该程应注家什么？ 么误的主要来有第儿方面 3.什么叫绝对误差、相对谗差？什么叫绝对误差限和相对误差限？什么叫有效数字？它们之间的关系 如何？ 4.算法的数值豫定性是指什么？理论上等价的公式，其数值稳定性是否郁相卷不多？算法的数值稳定 性对计算结果有什么影响？ 5。数值计算中应普遵的原则有哪些？举例加以说明 习题一 1.下列各数都是经过四鲁五人得到的近似，试指出它们有几位有效数字以及它们的绝对误差限，相 对差限。 (1)xi=1.0021: (2)x对=0.032： (3)x=385.6, (4)x=65.4301 (5)x-7X10;(6)x=0.10×10:(7)x对=65.4300 2.为使下列各数的近似值的相对澳差限不超过0.1×10，问各近触值分联应取几位有效数字？ =宁4=：=√0 3。设xxx均为第1题所给数整，估计下列各近似数的误笼限， )矿++：（②）·对，g)器 10*
e书联盟电子书下载www.book118.com
e书联盟电子书下载www.book118.com 4计算=(2-1),歌√≈1.4，利用下列等价表达式计算，一个的结果最好？为什么 (4)99-70√2 5.序列(y.}调足递推关系式 y.=10y.-1-1 (m1,2,) 若火=√？知1.41（三位有效数字），计算时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 6.求方覆x2-56x+1=0的两个根，使其至少具有四位有效数字（受求利用√83e27.982). ?。利用等式变换使下列表达式的计算结果比较精确， =g,0且1： z+语. w中" 数值实验一 实酸课愿（一）递推计算的稳定性 计算积分 k=a千xd (n三0,1，10) 其中a为参数，分别对a=0.05及a=15按下列两种方案计算，列出其结果，并对其可靠性进行分析比较. 说明原因， 方索用遵推公式 1.=-a+ (m=1,2.,10) 遵推初值可由积分直接得1。=na十). 方案【用递推公式 k-=是(-1，+】 (a=N,N-1,.,1) 根据估计式 (a+D)(+B<I.<aFD 当中节 a+0+<1.≤ 当0a<n十i 取递推初值为 k2[a+N+D+an]-aa热-市1， 当≥N w[a++D+持]1 当0C< 计算中取N=13开始。 实验谏题（二）三种求1加2的算法比较 按下列三种方案构造通近l2的数列，用以求出2的近似值，要求精度e=子X10。观察和比 被较三种计算方案的收敛速度， 方案】利用级数 ·11
e书联盟电子书下载www.book118.com
e书联盟电子书下载wwm.book118.com 2=1-资+}-其+w-会 期可取h2每S., 方案【对方案I中的数据，按下列公式生成新数列位.)。 -5- (n3,4,.) 称{.)为数列{S,}的埃特金(Aitken)外推数列.可以证明imS.=lh2(见[12]D.因此可取n2≈S. 方案利用毁数 2-++2++-会2 &会2 则可取ln2S. 实酸潭■（三）x值的计算 下面喻出了三种求π的近似值的计算方案，试比较它们的收敏速 方常1 利用通近单位半周长的方法。单位半周长的值为 图1-1所示为一单位半图，设8为将半圆氟分成2等份得到的角，其对 图1-1 应的弦线长度是2号，则这样的弦线之和为 卫.=2+1sng (1-12) P.就是单位围半周长x的一个近似值， 由三角公式知 m号=1o 21+V1-sm9 (1-13) 记S.=in号，则由式(1-12)、1-13)可建立如下选代公式 + 8.= (1-14) (1-15) 则P.就是x的通近值 实际计算时，从=m冬=1出发，对n=1,2.用式(-14)、(1-5)道 推计算S,和P 方素【利用通近单位圆丽积的方法。单位周面积慎为π，如图1-2所示， 将单位圆等分设2”个区被，对应的图心角为，用等展三角形面积之说近似 每一区蚊的面积，则所有等复三角形面积之和为 P。世2"-sin8. (1-16) 卫，为单位图面积需的一个近似值， 1-2 由三角公式得 12
e书联盟电子书下载www.book118.com